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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Do 26.10.2006 | | Autor: | ragnar79 |
| Aufgabe | Finden sie die Lösungen zum folgenden Gleichungssystem
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = 2
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} -2x_{4} [/mm] =4
[mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] 7x_{2} [/mm] - [mm] 5x_{3} [/mm] = t
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Die Aufgabe soll mit der Basistransformation bzw. Gauß Algorithmuss gelöst werden. Demzufolge habe ich eine Koeffizentenmatrix erstellt
1 2 -1 1 2
2 3 -3 -2 4 | + Zeile 1 mal (-2)
4 7 -5 0 t | + Zeile 1 mal (-4)
ergibt
1 2 -1 1 2
0 -1 -1 -10 0 | mal (-1)
0 -1 -1 -16 t-8
ergibt
1 2 -1 1 2 |+Zeile 2 mal (-2)
0 1 1 10 0
0 -1 -1 -16 t-8 | + Zeile 2
ergibt
1 0 -3 -19 -2
0 1 1 10 0
0 0 0 -6 t-8
Meine Fragen:
Ist der Freiheitgrad jetzt 2??
Wie löse ich jetzt weiter auf und ist das bisher gerechnete soweit richtig?
Vielen Dank
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> Finden sie die Lösungen zum folgenden Gleichungssystem
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> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] = 2
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]3x_{3} -2x_{4}[/mm] =4
> [mm]4x_{1}[/mm] + [mm]7x_{2}[/mm] - [mm]5x_{3}[/mm] = t
>
>
> Die Aufgabe soll mit der Basistransformation bzw. Gauß
> Algorithmuss gelöst werden. Demzufolge habe ich eine
> Koeffizentenmatrix erstellt
> und ist das bisher gerechnete
> soweit richtig?
Hallo,
leider nicht.
das Prinzip stimmt zwar, aber
>
>
> 1 2 -1 1 2
> 2 3 -3 -2 4 | + Zeile 1 mal (-2)
> 4 7 -5 0 t | + Zeile 1 mal (-4)
>
> ergibt
> 1 2 -1 1 2
> 0 -1 -1 -4 0 | mal (-1)
> 0 -1 -1 4 t-8
Bei drei linearen Gleichungen mit 4 Unbekannten wird es keine eindeutige Lösung geben können.
Du bekommst ein Ergebnis, in welchem drei Variablen abhängig von der vierten sind. Ist das Freiheitsgrad 1 in Deiner Sprechweise?
Das t ist ja nicht als Variable anzusehen. Es ist zwar beliebig, aber fest. Unverhandelbar. Du mußt es behandeln, als wäre es eine ganz normale Zahl.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 26.10.2006 | | Autor: | ragnar79 |
Danke Angela, für die Hilfe. Es wird bei uns Freiheitsgrad genannt ja.
Kannst du mir den Rest unten weiter eklären?? Danke
Also rechne ich mal weiter:
ergibt
1 2 -1 1 2
0 -1 -1 -4 0 | mal (-1)
0 -1 -1 4 t-8
ergibt:
1 2 -1 1 2 |+zeile 1
0 1 1 4 0
0 -1 -1 4 t-8 | +zeile 1
ergibt:
1 3 0 5 2 |+zeile 1
0 1 1 4 0
0 0 0 8 t-8 | +zeile 1
ich glaub ich versteh nicht wie es weiter geht.
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> ergibt
> 1 2 -1 1 2
> 0 -1 -1 -4 0 | mal (-1)
> 0 -1 -1 4 t-8
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> ergibt:
> 1 2 -1 1 2 |+zeile 1
> 0 1 1 4 0
> 0 -1 -1 4 t-8 | +zeile 1
>
> ergibt:
> 1 3 0 5 2 |+zeile 1
> 0 1 1 4 0
> 0 0 0 8 t-8 | +zeile 1
>
> ich glaub ich versteh nicht wie es weiter geht.
ergibt:
> 1 3 0 5 2
> 0 1 1 4 0
> 0 0 0 8 t-8 l :8
ergibt:
> 1 3 0 5 2 l -5*letzte Zeile
> 0 1 1 4 0 l -4*letzte Zeile
> 0 0 0 1 (t-8)/8
ergibt:
> 1 3 0 0 2 - [mm] \bruch{5(t-8)}{8} [/mm]
> 0 1 1 0 -(t-4)/2
> 0 0 0 1 (t-8)/8
Letzte Zeile liefert: [mm] x_4= [/mm] (t-8)/8
mittlere Zeile: [mm] x_3=-(t-4)/2 [/mm] - [mm] x_2
[/mm]
erste Zeile: [mm] x_1= [/mm] 2 - [mm] \bruch{5(t-8)}{8} [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm]
[mm] x_2 [/mm] kann also beliebig gewählt werden.
Die Lösungsmenge ist eine Gerade: setze [mm] x_3=\lambda.
[/mm]
Man erhält
[mm] x_1= [/mm] 2 - [mm] \bruch{5(t-8)}{8} [/mm] - [mm] 3\lambda [/mm]
[mm] x_2= \lambda
[/mm]
[mm] x_3=-(t-4)/2 [/mm] - [mm] \lambda
[/mm]
[mm] x_4= [/mm] (t-8)/8
Und hieraus die Punkt-Richtungsform (falls Ihr die braucht):
[mm] \vec{x_t}=\vektor{2 - \bruch{5(t-8)}{8} \\ 0 \\ -(t-4)/2 \\ (t-8)/8 }+ \lambda\vektor{-3 \\ 1 \\ -1 \\ 0 }.
[/mm]
(ich hab nichts nachgerechnet. Kann also sein, daß es Rechenfehler gibt. Aber selbst dann: das prinzip stimmt.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Do 26.10.2006 | | Autor: | ragnar79 |
Erstmal vielen Dank für Zeit und Mühe. Ich versuchs jetzt mal in Ruhe nach zu vollziehen.
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