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| Aufgabe | Lösen sie folgende Aufgaben über [mm] \IC
[/mm]
[mm] z^3=1+i [/mm] |
Ich habe mit komplexen Zahlen noch nicht so viel gerechnet, und es wäre schon wenn mir geholfen würde.
Also ich fang mal an:
[mm] z^3=1+i--> z=\wurzel[3]{1+i}=\wurzel[3]{\wurzel[2]{2}*(\cos(x)+\sin(x))}
[/mm]
Nun suche ich eigenlich eine Zahl die [mm] (\wurzel[2]{2}*\cos(x))^3=1 [/mm] (Realteil) entsprechend beim Sinus.
Dann bekomme ich ja raus
[mm] \wurzel[2]{8}*e^{i3x}=1
[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm] e^{i3x}=\wurzel[2]{1/8}
[/mm]
Da wir jetzt beim Kosinus sind ergibt sich
[mm] \cos(3x)=\wurzel[2]{1/8}
[/mm]
Dann ergibt sich für x [mm] =0.401*\pi [/mm]
ähnlich beim Sinus dann bekomme ich x= [mm] 0.12*\pi
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 19.12.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
Nimm für die Lösung die Formel nach Moivre:
[mm] $\wurzel[n]{z^n} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}*\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)+i*\sin\left(\bruch{\varphi+k*2\pi}{n}\right)\right]$ [/mm] $mit$ $(k=0,1,2)$
Liebe Grüße
Herby
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Kannst du mal schauen, ob ich das richtig mache:
Also [mm] r=\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{z^3} [/mm] = [mm] \wurzel[6]{2}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right]
[/mm]
Dann ist [mm] \cos(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{3}) [/mm] = [mm] \wurzel[6]{1/2}
[/mm]
Dann erhalte ich für den Winkel [mm] \wurzel{2}*\pi
[/mm]
Stimmt das dann so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo blascowitz!
Den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] erhältst Du direkt aus dem Real- und Imaginärteil der Komplex-Zahl $1+i \ = \ [mm] \red{1}+\blue{1}*i$ [/mm] :
[mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{1}}{\red{1}} [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ $\varphi [/mm] \ = \ 45° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \bruch{\pi}{4}$ [/mm] .
Und das in die Moivre-Formel einsetzen:
[mm] $\wurzel[3]{1+i} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[6]{2}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\bruch{\pi}{4}+k\cdot{}2\pi}{3}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\bruch{\pi}{4}+k\cdot{}2\pi}{3}\right)\right]$
[/mm]
Nun die insgesamt 3 Lösungen für $k \ = \ 0, \ 1, \ 2$ ausrechnen ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Mi 20.12.2006 | | Autor: | blascowitz |
Ich danke recht herzlich für die Hilfe und wünsche allen Mitgliedern frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr
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