Lösung für (x+i)^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Do 25.11.2004 | | Autor: | TheNose |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich versuch zur Zeit diesen Term hier aufzulösen: [mm] (1+i)^{n}+(1-i)^{n}
[/mm]
Okay, den ersten Teil des Terms kann man ja leicht über den binomischen Lehrsatz auflösen. Aber was mache ich mit dem zweiten Teil: [mm] (1-i)^{n}
[/mm]
Da hab ich leider keine Idee! Kann jemand weiterhelfen?
Gruß
TheNose
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Da es hier um Komplexe Zahlen geht, nehm ich mal an die Darstellung
|z| * [mm] e^{i\phi} [/mm] ist dir auch bekannt.
in diese Darstellung formen wir nun um, es folgt
[mm] |(1,1)|^n*e^{i*\bruch{\pi}{4}}^n+|(1,-1)|^n*e^{-i*\bruch{\pi}{4}}^n [/mm] =
= [mm] |\wurzel{2}|^n*(e^{i*\bruch{n\pi}{4}}+e^{-i*\bruch{n\pi}{4}})
[/mm]
und nun gehts in die sinus-cosinus Darstellung, es folgt
[mm] |\wurzel{2}|^n*(cos(\bruch{n\pi}{4})+i*sin(\bruch{n\pi}{4})+cos(-\bruch{n\pi}{4})+i*sin(-\bruch{n\pi}{4})) [/mm]
mit Wissen der Form cos(-x) = cos(x) und sin(-x) = -sin(x) fällt hier der Sinusanteil weg, folgt:
[mm] 2*|\wurzel{2}|^n*cos(\bruch{n\pi}{4})
[/mm]
und das ist das Ergebnis.
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