Lösung eines lin. DGL-Systems < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Do 07.05.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des Systems von linearen Differentialgleichungen
x'=2x+y
y'=2y
zu den Anfangswerten x(0)=1, y(0)=3 indem sie exp(t [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }) [/mm] berechnen. |
Hi,
Ich wollte mal fragen, ob jemand mir bitte weiterhelfen kann und soweit wie ich es fertig habe kontrollieren könnte.
Vielen Dank im Voraus.
Die Matrix folgt aus den Gleichungen. Dann folgt folgende Überlegung:
[mm] \vektor{x'(t) \\ y('t)}= \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] * [mm] \vektor{x(0) \\ y(0)} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 3} [/mm]
daraus folgt:
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] (t) = exp(t [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }) \vektor{x(0) \\ y(0)} [/mm] =exp(t [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }) \vektor{1 \\ 3}
[/mm]
= [mm] \pmat{ e^{2t} & e^{t} \\ 0 & e^{2t} }
[/mm]
(doch was sagt mir diese Matrix?Denn damit sollten wir ja rechnen laut Aufgabe)
[mm] det(\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2} [/mm] - [mm] \lambda \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }) [/mm] = [mm] \pmat{ 2-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda} [/mm] = [mm] (2-\lambda)^{2} [/mm] = [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 4\lambda [/mm] +4
[mm] \Rightarrow \lambda_{1,2} [/mm] = 2 [mm] \pm \sqrt{4-4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] = 2 (Eigenwert)
so jetzt bin ich mir absolut nicht mehr sicher:
[mm] exp(\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2}) [/mm] = [mm] \pmat{ e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{2t}}ist [/mm] dann was? Ist das meine Lösung? Oder fehlt da noch was?
Dankeschön.
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Hallo Ultio,
> Bestimmen Sie die Lösung des Systems von linearen
> Differentialgleichungen
> x'=2x+y
> y'=2y
> zu den Anfangswerten x(0)=1, y(0)=3 indem sie exp(t [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 })[/mm]
> berechnen.
> Hi,
> Ich wollte mal fragen, ob jemand mir bitte weiterhelfen
> kann und soweit wie ich es fertig habe kontrollieren
> könnte.
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Die Matrix folgt aus den Gleichungen. Dann folgt folgende
> Überlegung:
> [mm]\vektor{x'(t) \\ y('t)}= \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }[/mm] *
> [mm]\vektor{x(0) \\ y(0)}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 3}[/mm]
> daraus folgt:
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] (t) = exp(t [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }) \vektor{x(0) \\ y(0)}[/mm]
> =exp(t [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }) \vektor{1 \\ 3}[/mm]
> = [mm]\pmat{ e^{2t} & e^{t} \\ 0 & e^{2t} }[/mm]
Das stimmt nicht ganz.
Berechne hier sämtliche Potenzen von A
[mm]e^{t*A}:=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*A^{k}[/mm]
In der Regel reichen hier die ersten Glieder um
eine Systematik dahinter zu erkennen.
>
> (doch was sagt mir diese Matrix?Denn damit sollten wir ja
> rechnen laut Aufgabe)
Die Matrix [mm]e^{t*A}[/mm] ist dann die Fundamentallösung dieses DGL-Systems.
>
> [mm]det(\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}[/mm] - [mm]\lambda \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })[/mm]
> = [mm]\pmat{ 2-\lambda & 1 \\ 0 & 2-\lambda}[/mm] = [mm](2-\lambda)^{2}[/mm]
> = [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]4\lambda[/mm] +4
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1,2}[/mm] = 2 [mm]\pm \sqrt{4-4}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}[/mm]
> = 2 (Eigenwert)
Zunächst benötigst Du einen Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Dieser ergibt sich aus dem Gleichungssystem
[mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}*ev_{1}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Hier brauchst Du noch einen sogenanten Eigenvektor 2. Stufe.
Dieser ist Lösung von
[mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}*ev_{2}=ev_{1}[/mm]
Diese Gleichung ergibt sich unmittelbar aus
[mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}^{2}*ev_{1}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
>
> so jetzt bin ich mir absolut nicht mehr sicher:
> [mm]exp(\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2})[/mm] = [mm]\pmat{ e^{2t} & 0 \\ 0 & e^{2t}}ist[/mm]
> dann was? Ist das meine Lösung? Oder fehlt da noch was?
>
Wenn, wie hier. ein doppelter Eigenwert auftritt,
dann ergeben sich die Lösungen zu
[mm]\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) }=C_{1}*ev_{1}*e^{2t}+C_{2}*ev_{2}*t*e^{2t}[/mm]
>
>
> Dankeschön.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Ultio |
> Das stimmt nicht ganz.
>
> Berechne hier sämtliche Potenzen von A
>
> [mm]e^{t*A}:=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*A^{k}[/mm]
>
> In der Regel reichen hier die ersten Glieder um
> eine Systematik dahinter zu erkennen.
Ist das so richtig?:
[mm] e^{t*A}:=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*A^{k}=1 [/mm] + [mm] t*\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2} [/mm] + t/2 [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}^{2} [/mm] + t/6 [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}^{3}+t/24 \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}^{4}...
[/mm]
=1 + t * [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2} [/mm] + t/2 [mm] \pmat{ 4 & 4 \\ 0 & 4} [/mm] + t/6 [mm] \pmat{ 8 & 12 \\ 0 & 8} [/mm] + t/24 [mm] \pmat{ 16 & 32 \\ 0 & 16}
[/mm]
weiter als zu verallgemeiner mit [mm] \pmat{ 2^{k} & ??? \\ 0 & 2^{k}} [/mm] komme ich aber gerade nicht oder was meintest du mit Systematik?
> Die Matrix [mm]e^{t*A}[/mm] ist dann die Fundamentallösung dieses
> DGL-Systems.
>
stimmt ich erinnere mich, das hatten wir kurz angesprochen.
>
> Zunächst benötigst Du einen Eigenvektor zum Eigenwert 2.
>
> Dieser ergibt sich aus dem Gleichungssystem
>
> [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}*ev_{1}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
>
du musst entschuldigen, Eigenvektoren und Einheitswerte hatten wir in der linearen Algebra nicht und in Analysis 2 ebenso wenig, daher bin ich hier ein bisschen fragebedürftig bzw. hilfebedürftig.
ist das denn richtig?:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0} [/mm] * [mm] \pmat{ x \\ y} [/mm] = [mm] \pmat{ 0\\ 0}
[/mm]
dann ist
0 = 0*x + 1*y
0 = 0*x + 0*y
aber damit kann ich irgendwie nicht anfangen für alle x ist es 0 da multiplikation mit 0 und y = 0.
> Hier brauchst Du noch einen sogenanten Eigenvektor 2.
> Stufe.
>
> Dieser ist Lösung von
>
> [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}*ev_{2}=ev_{1}[/mm]
>
> Diese Gleichung ergibt sich unmittelbar aus
>
> [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}^{2}*ev_{1}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
>
damit ist das gleiche Siel:
[mm] \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}^{2}*ev_{1}=\pmat{0 \\ 0} [/mm] = pmat{0 & 1 [mm] \\ [/mm] 0 & 0}*pmat{0 & 1 [mm] \\ [/mm] 0 & 0} = pmat{0 & 0 [mm] \\ [/mm] 0 & 0}
das heißt für alle x und alle y oder wie ist das zu verstehen?
>
> Wenn, wie hier. ein doppelter Eigenwert auftritt,
> dann ergeben sich die Lösungen zu
>
> [mm]\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) }=C_{1}*ev_{1}*e^{2t}+C_{2}*ev_{2}*t*e^{2t}[/mm]
>
> >
und damit komme ich ja gar nicht klar, entsprechend meinen oberen Nichtverständnisses.
Danke für die Antwort,
Gruß
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Hallo Ultio,
>
> > Das stimmt nicht ganz.
> >
> > Berechne hier sämtliche Potenzen von A
> >
> > [mm]e^{t*A}:=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*A^{k}[/mm]
> >
> > In der Regel reichen hier die ersten Glieder um
> > eine Systematik dahinter zu erkennen.
>
> Ist das so richtig?:
> [mm]e^{t*A}:=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{t^{k}}{k!}*A^{k}=1[/mm] +
> [mm]t*\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}[/mm] + t/2 [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}^{2}[/mm] +
> t/6 [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}^{3}+t/24 \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}^{4}...[/mm]
>
> =1 + t * [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2}[/mm] + t/2 [mm]\pmat{ 4 & 4 \\ 0 & 4}[/mm]
> + t/6 [mm]\pmat{ 8 & 12 \\ 0 & 8}[/mm] + t/24 [mm]\pmat{ 16 & 32 \\ 0 & 16}[/mm]
Das muß hier so lauten:
[mm]=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} + t * \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2} + t^{\red{2}}/2 \pmat{ 4 & 4 \\ 0 & 4}
+ t^{\red{3}}/6 \pmat{ 8 & 12 \\ 0 & 8} + t^{\red{4}}/24 \pmat{ 16 & 32 \\ 0 & 16}+ ...[/mm]
Sicher habt ihr schon die Fundamentallösung eines DGL-Systems mit doppelten Eigenwerten behandelt.
Interessant ist hier der Eintrag in der 1. Zeile, 2. Spalte:
[mm]a_{12}=0+t+\bruch{4}{2!}t^{2}+\bruch{12}{6}t^{3}+\bruch{32}{24}*t^{4}+...[/mm]
[mm]=t+\bruch{4}{2!}t^{2}+\bruch{12}{3!}t^{3}+\bruch{32}{4!}*t{4}+...[/mm]
[mm]=t*\left(1+\bruch{4}{2!}t+\bruch{12}{3!}t^{2}+\bruch{32}{4!}*t{3}+...\right)[/mm]
[mm]=t*\left(1+\bruch{2}{2}*\bruch{2t}{1!}+\bruch{3}{3}*\bruch{4}{2!}t^{2}+\bruch{4}{4}\bruch{8}{3!}*t{3}+...\right)[/mm]
[mm]=t*\left(\left(2t\right)^{0}+\bruch{\left(2t\right)^{1}}{1!}+\bruch{\left(2t\right)^{2}}{2!}+\bruch{\left(2t\right)^{3}}{3!}+...¸\right)[/mm]
Die Reihe in der Klammer dürfte Dir bekannt sein.
>
> weiter als zu verallgemeiner mit [mm]\pmat{ 2^{k} & ??? \\ 0 & 2^{k}}[/mm]
> komme ich aber gerade nicht oder was meintest du mit
> Systematik?
>
>
> > Die Matrix [mm]e^{t*A}[/mm] ist dann die Fundamentallösung dieses
> > DGL-Systems.
> >
> stimmt ich erinnere mich, das hatten wir kurz
> angesprochen.
>
>
>
>
> >
> > Zunächst benötigst Du einen Eigenvektor zum Eigenwert 2.
> >
> > Dieser ergibt sich aus dem Gleichungssystem
> >
> > [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}*ev_{1}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
> >
>
> du musst entschuldigen, Eigenvektoren und Einheitswerte
> hatten wir in der linearen Algebra nicht und in Analysis 2
> ebenso wenig, daher bin ich hier ein bisschen
> fragebedürftig bzw. hilfebedürftig.
> ist das denn richtig?:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}[/mm] * [mm]\pmat{ x \\ y}[/mm] = [mm]\pmat{ 0\\ 0}[/mm]
>
> dann ist
> 0 = 0*x + 1*y
> 0 = 0*x + 0*y
> aber damit kann ich irgendwie nicht anfangen für alle x
> ist es 0 da multiplikation mit 0 und y = 0.
Nun, daraus folgt die Lösungsmenge
[mm]\pmat{x \\ y }=s*\pmat{1 \\ 0}[/mm]
, das heißt [mm]\pmat{1 \\ 0}[/mm] ist der erste Eigenvektor.
>
>
> > Hier brauchst Du noch einen sogenanten Eigenvektor 2.
> > Stufe.
> >
> > Dieser ist Lösung von
> >
> > [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}*ev_{2}=ev_{1}[/mm]
> >
> > Diese Gleichung ergibt sich unmittelbar aus
> >
> > [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}^{2}*ev_{1}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
> >
>
> damit ist das gleiche Siel:
> [mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}^{2}*ev_{1}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= pmat{0 &
> 1 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 & 0}*pmat{0 & 1 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 & 0} = pmat{0 & 0 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 & 0}
> das heißt für alle x und alle y oder wie ist das zu
> verstehen?
Der Eigenvektor 2. Stufe muß natürlich in [mm]\operatorname{ker}\left(A-2*I\right)^{2}[/mm] liegen.
Also Lösung von
[mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}^{2}*ev_{2}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
ist.
Wie schon erwähnt reduziert sich diese Gleichung auf
[mm]\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}*ev_{2}=ev_{1}=\pmat{1 \\ 0}[/mm]
>
> >
> > Wenn, wie hier. ein doppelter Eigenwert auftritt,
> > dann ergeben sich die Lösungen zu
> >
> > [mm]\pmat{x\left(t\right) \\ y\left(t\right) }=C_{1}*ev_{1}*e^{2t}+C_{2}*ev_{2}*t*e^{2t}[/mm]
>
> >
> > >
> und damit komme ich ja gar nicht klar, entsprechend meinen
> oberen Nichtverständnisses.
>
>
> Danke für die Antwort,
> Gruß
Gruß
MathePower
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