Lösung eines Gleichungssystems < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien A [mm] \in\ [/mm] M(mx3,K), [mm] b_1,b_2 \in\ K^m [/mm] und [mm] v:=(0,1,2)^T, [/mm] w := [mm] (1,2,3)^T, z:=(2,3,4)^T \in\ K^3, [/mm] sodass gilt
Av = [mm] b_1
[/mm]
Aw = [mm] b_2
[/mm]
Az = 0
Finden Sie eine Lösung x des linearen Gleichungssystems
Ax = [mm] 2b_1 [/mm] |
Hallo,
ich hatte mir zu der Aufgabe folgendes überlegt, allerdings glaube ich nicht, dass es richtig ist.
Ax = [mm] 2b_1 [/mm] <=> Ax = 2Av <=> Ax = A*2v <=> Ax = [mm] A*(0,2,4)^T
[/mm]
<=> [mm] A^T [/mm] Ax = [mm] A^T A*(0,2,4)^T [/mm]
<=> [mm] (A^T A)^-^1A^T [/mm] Ax = [mm] (A^T A)^-^1A^T A*(0,2,4)^T
[/mm]
<=> x = [mm] (0,2,4)^T
[/mm]
Das wäre doch alles irgendwie zu einfach^^
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Ax = [mm]2b_1[/mm] <=> Ax = 2Av <=> Ax = A*2v <=> Ax = [mm]A*(0,2,4)^T[/mm]
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> <=> [mm]A^T[/mm] Ax = [mm]A^T A*(0,2,4)^T[/mm]
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> <=> [mm](A^T A)^-^1A^T[/mm] Ax = [mm](A^T A)^-^1A^T A*(0,2,4)^T[/mm]
>
Warum so kompliziert ?
wenn A invertierbar ist, dann ist offenbar x = 2v die gesuchte Lösung, in jedem Fall ist es eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems.
Im anderen Fall muss noch die Lösung des homogenen Gleichungssystems addiert werden.
Welcher Fall vorliegt, hängt davon ab, ob [mm] b_1 [/mm] = [mm] 2b_2 [/mm] ist oder nicht.
Gruß Sax.
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Ok, dann wäre die Aufgabe ja eigentlich schon gelöst, oder?
Allerdings verstehe ich nicht ganz, wie ich de gesamte Lösungsmenge angeben kann. Müsste ich eine bestimmte Lösung, bspw. [mm] (0,2,4)^T [/mm] addieren mit der Lösung von Ax = 0 ?
Wie würde das dann aussehen?
Und wieso hängt es davon ab, ob [mm] b_1 [/mm] = [mm] 2b_2 [/mm] ist?
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi, meine obige Antwort war tatsächlich z.T. falsch.
"Welcher Fall vorliegt, hängt davon ab, ob $ [mm] b_1 [/mm] $ = $ [mm] 2b_2 [/mm] $ ist oder nicht. "
Dieser Satz stimmt nicht.
Tatsache ist Folgendes :
1. Weil Az=0 mit [mm] z\not=0 [/mm] ist, kann rangA höchstens 2 sein.
Das homogene Gleichungssystem hat also sicher nichttriviale Lösungen.
(z ist z.B. eine)
2. Weil 2w-v=z ist, muss A*(2w-v)=Az sein, also [mm] 2Aw-Av=2b_2-b_1=0
[/mm]
[mm] b_1=2b_2 [/mm] folgt also allein aus der Aufgabenstellung.
Die allgemeine Lösung des homogenen Gleichungssystems findet man so :
A besteht aus drei Spaltenvektoren [mm] a_1, a_2, a_3\in K^m.
[/mm]
[mm] Av=b_1 [/mm] heißt [mm] a_2+2a_3=b_1=2b_2, Aw=b_2 [/mm] heißt [mm] a_1+2a_2+3a_3=b_2,
[/mm]
daraus folgt [mm] a_1-a_3=b_2-2b_1=-3b_2.
[/mm]
Also ist [mm] a_1=a_3-3b_2 [/mm] und [mm] a_2=2b_2-2a_3.
[/mm]
Ax=0 heißt [mm] x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=0, [/mm] also
[mm] x_1(a_3-3b_2)+x_2(2b_2-2a_3)+x_3a_3=0
[/mm]
[mm] a_3(x_1-2x_2+x_3)+b_2(-3x_1+2x_2)=0
[/mm]
wenn [mm] a_3 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] l.u. sind weiter [mm] 3x_1=2x_2 [/mm] und [mm] x_3=2x_2-x_1=2x_1.
[/mm]
Daraus folgt [mm] x=x_1/2*\vektor{2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
Das folgt natürlich viel schneller aus der Tatsache, dass der Lösungsraum eindimensional ist und z enthält.
Die allgemeine Lösung wäre also x=2v+x_1z mit beliebigem [mm] x_1.
[/mm]
Übrigens sollte laut Aufgabenstellung nur eine Lösung gefunden werden und die hattest du ja längst.
Gruß Sax.
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