Lösung eines DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 So 13.09.2009 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Gegeben sei die Differentialgleichung
y´´ + xy´− xy = 1 − [mm] \bruch{1}{6}x^4
[/mm]
Bestimmen Sie ein Polynom y vom Grad 3 (d.h. y(x) = [mm] ax^3 +bx^2 [/mm] +cx+d) so, dass y(x) eine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Wieviele solche Polynome gibt es? |
Hallo,
ich bin dabei diese DGL zu lösen und hoffe dass es mir mit einem Potenzreihenansatz gelingt.
Nun ist die Frage wie bestimmt man die Anfangskoeffizienten a0 und a1 ?
Gruß
Splin
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Hallo splin,
> Gegeben sei die Differentialgleichung
> y´´ + xy´− xy = 1 − [mm]\bruch{1}{6}x^4[/mm]
>
> Bestimmen Sie ein Polynom y vom Grad 3 (d.h. y(x) = [mm]ax^3 +bx^2[/mm]
> +cx+d) so, dass y(x) eine Lösung dieser
> Differentialgleichung ist. Wieviele solche Polynome gibt
> es?
> Hallo,
> ich bin dabei diese DGL zu lösen und hoffe dass es mir mit
> einem Potenzreihenansatz gelingt.
>
> Nun ist die Frage wie bestimmt man die Anfangskoeffizienten
> a0 und a1 ?
>
Die Anfangskoeffizienten [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] sind
durch die Anfangsbedingungen bestimmt.
>
> Gruß
> Splin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 13.09.2009 | | Autor: | splin |
Diese sind leider bei der Aufgabenstellung nicht gegeben.
Also es muss auch anderes gehen.
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Hallo splin,
> Diese sind leider bei der Aufgabenstellung nicht gegeben.
>
> Also es muss auch anderes gehen.
Nun, da ein Polynom 3. Grades gesucht ist, das diese DGL löst,
setze dieses Polynom in die DGL ein und bestimme daraus die Koeffizienten a,b,c,d.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Mo 14.09.2009 | | Autor: | splin |
Ich habe diese Gleichung: y(x) [mm] =ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
zwei mal abgeleitet und die obige Gleichung eingesetzt.
Daraus habe ich die Koef. bestimmt.
Also das Polynom nimmt so eine Gestallt:
y(x) = [mm] \bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x+2 [/mm]
Habe noch mal abgeleitet eingesetzt, die Gleichung stimmt.
Es ist aber keine vollständige Lösung des DGL.
Ist das die partikuläre Lösung des DGL?
Ich frage so da ich so eine Methode der Bestimmung nicht kenne.
Wie bestimme ich die homogene Lösung des DGL?
Ich würde mit dem charakter. Polynom anfangen aber die veränderliche x vor dem y "stört" mir.
y´´ + xy´− xy = 1- [mm] \bruch{1}{6}x^4
[/mm]
Gruß
Splin
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Hallo splin,
> Ich habe diese Gleichung: y(x) [mm]=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> zwei mal abgeleitet und die obige Gleichung eingesetzt.
> Daraus habe ich die Koef. bestimmt.
> Also das Polynom nimmt so eine Gestallt:
> y(x) = [mm]\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x+2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Habe noch mal abgeleitet eingesetzt, die Gleichung stimmt.
> Es ist aber keine vollständige Lösung des DGL.
>
> Ist das die partikuläre Lösung des DGL?
Ja, das ist die partikuläre der DGL.
> Ich frage so da ich so eine Methode der Bestimmung nicht
> kenne.
>
> Wie bestimme ich die homogene Lösung des DGL?
> Ich würde mit dem charakter. Polynom anfangen aber die
> veränderliche x vor dem y "stört" mir.
> y´´ + xy´− xy = 1- [mm]\bruch{1}{6}x^4[/mm]
Der Potenzreihenansatz hilft immer weiter.
Hier hast Du dann, wie schon erwähnt, zwei freie Variable,
die durch die Anfangsbedingungen gegeben sind.
>
> Gruß
> Splin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 14.09.2009 | | Autor: | splin |
> Der Potenzreihenansatz hilft immer weiter.
>
> Hier hast Du dann, wie schon erwähnt, zwei freie Variable,
> die durch die Anfangsbedingungen gegeben sind.
>
>
> Gruss
> MathePower
Über zwei frei wählbare Variablen war noch keine Rede gewesen .
Also wähle ich einfach z.B a0=1 und a1=2 ?
oder wie geht das genau?
Aber mit Potenzreihenansatz brauche ich doch nicht noch die partikuläre Lösung extra ausrechnen.
Nach dem ich die linke Seite mit dazugehörigen Potenzreihen ausgeschrieben habe und Koeffizientenvergleich
mit der rechten Seite gemacht habe. Erhalte ich doch die komplette(allg.) Lösung des DGL.
Oder liege ich falsch?
Gruß
Splin
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Hallo splin,
> > Der Potenzreihenansatz hilft immer weiter.
> >
> > Hier hast Du dann, wie schon erwähnt, zwei freie Variable,
> > die durch die Anfangsbedingungen gegeben sind.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Über zwei frei wählbare Variablen war noch keine Rede
> gewesen .
> Also wähle ich einfach z.B a0=1 und a1=2 ?
> oder wie geht das genau?
Zunächst machst Du den Potenzreihenansatz
[mm]y\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k}[/mm]
Diesen setzt Du in die DGL ein, und erhälst dann
eine Bildungsvorschrift für die einzelnen Glieder der Reihe.
Zunächst sind hier [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] frei wählbar.
Durch die Bedingung, daß es sich um ein Polynom 3. Grades
handeln soll, sind diese Koeffizienten [mm]a_{0}, \ a_{1}[/mm]
so zu bestimmen, daß
[mm]a_{k}=0, \ k > 3, k \in \IN[/mm]
>
> Aber mit Potenzreihenansatz brauche ich doch nicht noch die
> partikuläre Lösung extra ausrechnen.
Das ist richtig.
> Nach dem ich die linke Seite mit dazugehörigen
> Potenzreihen ausgeschrieben habe und Koeffizientenvergleich
> mit der rechten Seite gemacht habe. Erhalte ich doch die
> komplette(allg.) Lösung des DGL.
Das ist auch richtig.
>
> Oder liege ich falsch?
>
> Gruß
> Splin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 14.09.2009 | | Autor: | splin |
Also ich habe a0=0 und a1=1 gewählt und mit dem Potenzrehenansatz folgende Lösung erhalten: $y(x) [mm] =\bruch {1}{6}x^4-x^3 [/mm] + 1$
wenn ich die ableite und in die DGL einsetze erhalte ich ein Widerspruch.
Wenn ich diese Lösung y(x) = [mm]\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x+2[/mm]
welche ich durch Ableiten von y(x)= [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] und Einsetzen mit anschließendem Koeffizientenvergleich erhalten habe,einsetze dann löst dieses Polynom die DGL (also beide Seiten stimmen überein).
Aber es ist doch nur die partikuläre Lösung oder?
Warum stimmt der Potenzreihenansatz nicht?
Ich glaube man darf nicht einfach die ersten Koeffiz.frei wählen.
In dem Gelben Rechenbuch steht:
"Wenn keine Anfangswerte vorgegeben sind, wählt man einmal a0= 1, a1=0 und einmal a0=0 , a1=1.
Man erhält ein Fundamentalsystem."
Wie geht das ?? das verstehe ich nicht.
Gruß
Splin
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Hallo splin,
> Also ich habe a0=0 und a1=1 gewählt und mit dem
> Potenzrehenansatz folgende Lösung erhalten: [mm]y(x) =\bruch {1}{6}x^4-x^3 + 1[/mm]
>
> wenn ich die ableite und in die DGL einsetze erhalte ich
> ein Widerspruch.
>
> Wenn ich diese Lösung y(x) =
> [mm]\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x+2[/mm]
> welche ich durch Ableiten von y(x)= [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] und
> Einsetzen mit anschließendem Koeffizientenvergleich
> erhalten habe,einsetze dann löst dieses Polynom die DGL
> (also beide Seiten stimmen überein).
> Aber es ist doch nur die partikuläre Lösung oder?
Ja.
>
> Warum stimmt der Potenzreihenansatz nicht?
> Ich glaube man darf nicht einfach die ersten Koeffiz.frei
> wählen.
Ja, so isses,
Bei einer DGL 2. Ordnung gibt es 2 freie Parameter, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind.
Ich habe im letzten Post geschrieben, daß Du durch den Potenzreihenansatz
eine Rekursionsformel für die Glieder der gesuchten Reihe bekommst.
Damit hast Du die allgemeine Lösung der DGL gefunden.
Aus der Forderung, dass die Lösung ein Polynom 3. Grades sein soll,
sind [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] so zu bestimmen, daß
[mm]a_{k}=0, \ k>3, \ k \in \IN[/mm].
>
> In dem Gelben Rechenbuch steht:
> "Wenn keine Anfangswerte vorgegeben sind, wählt man
> einmal a0= 1, a1=0 und einmal a0=0 , a1=1.
> Man erhält ein Fundamentalsystem."
>
> Wie geht das ?? das verstehe ich nicht.
Ein Fundamentalsystem ist Lösung der homogenen DGL
[mm]y''+x*y'-x*y=0[/mm]
Aus dem Potenzreihenansatz
[mm]y\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k}[/mm]
erhältst Du auch hier eine Rekursionsformel für die [mm]a_{k}[/mm]
Setze hier einmal [mm]a_{0}=0, \ a_{1}=1[/mm] und
einmal [mm]a_{0}=1, \ a_{1}=0[/mm] in diese Formel ein.
>
> Gruß
> Splin
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 15.09.2009 | | Autor: | splin |
Hallo MathePower,
> Setze hier einmal [mm]a_{0}=0, \ a_{1}=1[/mm] und
> einmal [mm]a_{0}=1, \ a_{1}=0[/mm] in diese Formel ein.
Ergentwie verstehe ich das überhaupt nicht.
Habe die beiden KOeffizienten abwechselnd in die Rekursionsformel eingesetzt.
Und was habe ich: 0=1 und 1=0
Konntest du bitte an meinem Beispiel ein mal die Bestimmung zeigen?
Wäre super.
Gruß
Splin
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Hallo splin,
> Hallo MathePower,
>
>
> > Setze hier einmal [mm]a_{0}=0, \ a_{1}=1[/mm] und
> > einmal [mm]a_{0}=1, \ a_{1}=0[/mm] in diese Formel ein.
>
> Ergentwie verstehe ich das überhaupt nicht.
>
> Habe die beiden KOeffizienten abwechselnd in die
> Rekursionsformel eingesetzt.
>
> Und was habe ich: 0=1 und 1=0
>
> Konntest du bitte an meinem Beispiel ein mal die Bestimmung
> zeigen?
Das machen wir andersrum.
Zeige Du uns mal die Rechenschritte, wie Du zu
[mm]0=1[/mm] bzw. [mm]1=0[/mm]
gekommen bist.
> Wäre super.
>
> Gruß
> Splin
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 15.09.2009 | | Autor: | splin |
Also,
ich habe in diese Formel [mm]y\left(x\right)=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}*x^{k}[/mm]
so eingesetzt: a0=0 und a1=1
n=0 --> 0=1
n=1--> 1=0 (da auf der rechten Seite keine [mm] x^1 [/mm] gibt)
so jetzt a0=1 und a1=0
n=0 --> 1=1
n=1 --> 0=0
Das letzte stimmt aber wo sind die KOeffiziente selbst.
Ich kann damit garnichts anfangen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Di 15.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ERST allgemein loesen, dann [mm] a_0-0 a1_0 [/mm] und dann umgekehrt. Nicht in den potenzreihenansatz direkt!
Gruss leduart
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Hallo Spin,
> Also ich habe a0=0 und a1=1 gewählt und mit dem
> Potenzrehenansatz folgende Lösung erhalten: [mm]y(x) =\bruch {1}{6}x^4-x^3 + 1[/mm]
>
> wenn ich die ableite und in die DGL einsetze erhalte ich
> ein Widerspruch.
>
> Wenn ich diese Lösung y(x) =
> [mm]\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x+2[/mm]
also ich bekomme hierfür [mm] \bruch{1}{2}x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{4}x+\bruch{13}{4} [/mm] heraus... aber ich gebe keine Garantie, habe es jetzt nur so auf die Schnelle gemacht.
> welche ich durch Ableiten von y(x)= [mm]ax^3+bx^2+cx+d[/mm] und
> Einsetzen mit anschließendem Koeffizientenvergleich
> erhalten habe,einsetze dann löst dieses Polynom die DGL
> (also beide Seiten stimmen überein).
> Aber es ist doch nur die partikuläre Lösung oder?
>
> Warum stimmt der Potenzreihenansatz nicht?
> Ich glaube man darf nicht einfach die ersten Koeffiz.frei
> wählen.
>
> In dem Gelben Rechenbuch steht:
> "Wenn keine Anfangswerte vorgegeben sind, wählt man
> einmal a0= 1, a1=0 und einmal a0=0 , a1=1.
> Man erhält ein Fundamentalsystem."
>
> Wie geht das ?? das verstehe ich nicht.
>
> Gruß
> Splin
>
Grüße, von à la fin
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 16.09.2009 | | Autor: | splin |
> > Wenn ich diese Lösung y(x) =
> > [mm]\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x+2[/mm]
>
> also ich bekomme hierfür
> [mm]\bruch{1}{2}x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{4}x+\bruch{13}{4}[/mm]
> heraus... aber ich gebe keine Garantie, habe es jetzt nur
> so auf die Schnelle gemacht.
Die Lösung von a_la_fin stimmt nicht, ich habe sie in die DGL eingesetzt.
Ich will nun mal selbst diese KOeffizienten bestimmen können.
Aber das klappt nicht.
Hier ist mein Lösungsweg:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)a_{n+2}+na_{n}-a_{n-1}=1-\bruch{1}{6}x^4
[/mm]
n=0 : [mm] 1*2*a_{2}=1 [/mm] ---> [mm] a_{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
n=1 : [mm] 2*3*a_{3}+a_{1}-a_{0} [/mm] =0---> [mm] 6a_{3}+a_{1}-a_{0}
[/mm]
n=2 : [mm] 3*4*a_{4}+2*a_{2}-a_{1}=0 --->12a_{4}+1-a_{1}=0
[/mm]
n=3 : ---> [mm] 20a_{5}+3a_{3}-\bruch{1}{2}=0
[/mm]
[mm] a_{0}=0 a_{1}=1 [/mm]
-------------------------
[mm] 6a_{3}+1=0
[/mm]
[mm] 12a_{4}=0
[/mm]
[mm] 20a_{5}+3a_{3}-\bruch{1}{2}=0
[/mm]
[mm] a_{0}=1 a_{1}=0 [/mm]
-------------------------
[mm] 6a_{3}-1=0
[/mm]
[mm] 12a_{4}+1=0
[/mm]
[mm] 20a_{5}+3a_{3}-\bruch{1}{2}=0
[/mm]
Solche Gleichungen haben sich ergeben, aber ich kann damit nichts anfangen.
Zeigt mir bitte wie ich aus diesen Gleichungen [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] bestimmen kann.
Gruß
Splin
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Hallo splin,
> > > Wenn ich diese Lösung y(x) =
> > > [mm]\bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+x+2[/mm]
> >
> > also ich bekomme hierfür
> >
> [mm]\bruch{1}{2}x^{3}+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{4}x+\bruch{13}{4}[/mm]
> > heraus... aber ich gebe keine Garantie, habe es jetzt nur
> > so auf die Schnelle gemacht.
>
> Die Lösung von a_la_fin stimmt nicht, ich habe sie in die
> DGL eingesetzt.
>
> Ich will nun mal selbst diese KOeffizienten bestimmen
> können.
> Aber das klappt nicht.
>
>
> Hier ist mein Lösungsweg:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)a_{n+2}+na_{n}-a_{n-1}=1-\bruch{1}{6}x^4[/mm]
>
> n=0 : [mm]1*2*a_{2}=1[/mm] ---> [mm]a_{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> n=1 : [mm]2*3*a_{3}+a_{1}-a_{0}[/mm] =0---> [mm]6a_{3}+a_{1}-a_{0}[/mm]
> n=2 : [mm]3*4*a_{4}+2*a_{2}-a_{1}=0 --->12a_{4}+1-a_{1}=0[/mm]
> n=3
> : ---> [mm]20a_{5}+3a_{3}-\bruch{1}{2}=0[/mm]
>
>
> [mm]a_{0}=0 a_{1}=1[/mm]
> -------------------------
>
> [mm]6a_{3}+1=0[/mm]
>
> [mm]12a_{4}=0[/mm]
>
> [mm]20a_{5}+3a_{3}-\bruch{1}{2}=0[/mm]
>
> [mm]a_{0}=1 a_{1}=0[/mm]
> -------------------------
>
> [mm]6a_{3}-1=0[/mm]
>
> [mm]12a_{4}+1=0[/mm]
>
> [mm]20a_{5}+3a_{3}-\bruch{1}{2}=0[/mm]
>
> Solche Gleichungen haben sich ergeben, aber ich kann damit
> nichts anfangen.
>
> Zeigt mir bitte wie ich aus diesen Gleichungen [mm]a_{0}[/mm] und
> [mm]a_{1}[/mm] bestimmen kann.
Wir benötigen zunächst aus der obigen Summenformel, die ersten 5 Glieder (n=0...4), da auf der rechten Seite ein Polynom 4. Grades steht.
[mm]n=0: \ 2*a_{2}=1[/mm]
[mm]n=1: \ 3*2*a_{3}+a_{1}-a_{0}=0[/mm]
[mm]n=2: \ 4*3*a_{4}+2*a_{2}-a_{1}=0[/mm]
[mm]n=3: \ 5*4*a_{5}+3*a_{3}-a_{2}=0[/mm]
[mm]n=4: \ 6*5*a_{6}+4*a_{4}-a_{3}=-\bruch{1}{6}[/mm]
Nun wissen wir daß es sich um ein Polynom 3. Grades handeln soll,
damit ist [mm]a_{k}=0, \ k > 3, \ k \in \IN[/mm]
Dann ändern sich die Gleichungen wie folgt:
[mm]n=0: \ 2*a_{2}=1[/mm]
[mm]n=1: \ 3*2*a_{3}+a_{1}-a_{0}=0[/mm]
[mm]n=2: \ 4*3*0+2*a_{2}-a_{1}=0[/mm]
[mm]n=3: \ 5*4*0+3*a_{3}-a_{2}=0[/mm]
[mm]n=4: \ 6*5*0+4*0-a_{3}=-\bruch{1}{6}[/mm]
Damit kannst Du das Gleichungssystem, beginnend von n=4 rückwärts auflösen.
Da Du 4 Koeffizienten bestimmen mußt,
reichen hierfür auch 4 Gleichungen aus.
Wir haben aber 5 Gleichungen,
daher muß die letzte Gleichung
(hier die Gleichung für n=0) auch erfüllt sein.
>
> Gruß
> Splin
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Fr 18.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
> Hier ist mein Lösungsweg:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)a_{n+2}+na_{n}-a_{n-1}=1-\bruch{1}{6}x^4[/mm]
>
Tut mir Leid, ich verstehe leider nicht, wie man auf diese Formel kommt...?
Und - jetzt mal ganz dumm gefragt^^ - warum sind da gar keine x drin?
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Hallo a_la_fin,
> > Hier ist mein Lösungsweg:
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)a_{n+2}+na_{n}-a_{n-1}=1-\bruch{1}{6}x^4[/mm]
>
Die Gleichung ist nicht ganz korrekt:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \left( \ (n+1)(n+2)a_{n+2}+na_{n}-a_{n-1} \ \right) x^{n}=1-\bruch{1}{6}x^4[/mm]
> >
>
> Tut mir Leid, ich verstehe leider nicht, wie man auf diese
> Formel kommt...?
> Und - jetzt mal ganz dumm gefragt^^ - warum sind da gar
> keine x drin?
Siehe oben.
Gruss
MathePower
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