Lösung einer quadratischen Gl. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:25 So 21.11.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Sei $p [mm] \in \IN$ [/mm] und sei [mm] $\(R$ [/mm] die durch
$x [mm] \sim_R [/mm] y: [mm] \gdw [/mm] p|(x-y)$
definierte Äquivalenzrelation auf [mm] $\IZ$. [/mm] Weiterhin bezeichne [mm] $\([n]$ [/mm] die Äquivalenzklasse von $n [mm] \in \IZ$ [/mm] und
[mm] $\IZ_p$ [/mm] die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich [mm] $\sim_R$. [/mm] Wir definieren auf [mm] $\IZ_p$ [/mm] die folgende Addition bzw. Multiplikation
[mm][n]+[m]:=[n+m]$ und $[n]*[m]:=[n*m][/mm].
Dabei bezeichnen + und * innerhalb der eckigen Klammern die normale Addition bzw. Multiplikation von ganzen Zahlen.
[mm] $\IZ_p$ [/mm] besitzt genau p Elemente, nämlich [mm] $\IZ_p [/mm] ={[0],[1],[2],...,[p-1]}$.
Aufgabe (c):
Bestimmen sie alle Lösungen der Gleichung $[2]*x+[2]=[0]$
in [mm] $\IZ_3$ [/mm] und [mm] $\IZ_4$
[/mm]
Aufgabe (d):
Bestimmen sie alle Lösungen der Gleichung [mm] $x^{2}+[2]*x+[1]=[0]$ [/mm] in [mm] $\IZ_3$ [/mm] und [mm] $\IZ_4$ [/mm] |
Sorry, hoffe ich habe euch jetzt nicht unnötig viel lesen lassen, aber so gehe ich sicher, dass ich nichts Wichtiges vergesse beim Zusammenfassen.
Zu meiner Lösung zu c:
Ich habe wie bei normalen Gleichungen umgeformt:
[mm]\([2]*x+[2]=[0][/mm]
[mm] \gdw [2]*x=[0]-[2][/mm]
[mm] \gdw [2]*x=-[2][/mm]
[mm] \gdw x=-[2]*[2]^{-1}[/mm]
[mm] \gdw x=-[1]$[/mm]
Sollte es bis hier hin überhaupt stimmen, komme ich jetzt nicht weiter.
Wie muss ich denn die Lösung angeben? Kann ich in etwa so vorgehen:
$/(x$ ist ja das additiv Inverse von [mm] $\([1]$ [/mm] (sagt man das so?)
Kann man dann für die Lösungsmenge das angeben:
[mm]L := {\forall x
|x=y*(-1), y \in \IZ \wedge y\ mod\ 3\ = 1}[/mm] (weiß leider nicht warum die Mengenklammern nicht angezeigt werden) ?
Wie sieht denn die Aufgabe (d) aus? Da würde ich die "pq"-Formel anwenden, aber weiß nicht, wie ich mit diesen Äqu.Klassen unter einer Wurzel umgehen muss.
Kann mir jemand einen tipp geben?
Vielen Dank für euere Mühe!
lg,
nhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Di 23.11.2010 | | Autor: | nhard |
also habe nochmal drüber nachgedacht und bin glaube ich zu einem besseren Ergebnis gekommen:
zu (a)
Für das Ergebnis in [mm] $\IZ_3$
[/mm]
[mm] $\([2]x+[2]=[0]$ [/mm] $|+[1]$
[mm] $\gdw [/mm] [2]x+[2]+[1]=[0]+[1]$
[mm] $\gdw [/mm] [2]x=[1]$ $|*[2]$
[mm] $\gdw [/mm] [1]x=[2]$
[mm] $\gdw [/mm] x=[2]$
Stimmt das?
Für [mm] $\IR_4$ [/mm] komme ich nicht wirklich weiter..
Also mein Ansatz:
[mm] $\([2]x+[2]=[2]$ [/mm] $|+[2]$
[mm] $\gdw [/mm] [2]x=[0]$
Aber jetzt weiß ich nich wie ich weiter komme. Wenn ich $*[2]$ mache dann bekomme ich ja $[0]=[0]$. x ist damit doch nicht eindeutig bestimmbar, oder?
Für die (b) wäre meine Idee:
Für [mm] $\IZ_3$:
[/mm]
[mm] $x^{2}+[2]x+[1]=[0]$
[/mm]
[mm] $(x+[1])^{2}=[0]$
[/mm]
$x+[1]=[0]$ $|+[2]$
$x=[2]$
Passt das?
Bei [mm] $\IZ_4$ [/mm] bekomme ich dann entsprechend:
[mm] $x^{2}+[2]x+[1]=[0]$
[/mm]
[mm] $(x+[1])^{2}=[0]$
[/mm]
$x+[1]=[0]$ $|+[3]$
$x=[3]$
Was meint ihr dazu?
lg,
nhard
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Hallo nhard,
> also habe nochmal drüber nachgedacht und bin glaube ich zu
> einem besseren Ergebnis gekommen:
>
> zu (a)
>
> Für das Ergebnis in [mm]\IZ_3[/mm]
> [mm]\([2]x+[2]=[0][/mm] [mm]|+[1][/mm]
> [mm]\gdw [2]x+[2]+[1]=[0]+[1][/mm]
> [mm]\gdw [2]x=[1][/mm] [mm]|*[2][/mm]
> [mm]\gdw [1]x=[2][/mm]
> [mm]\gdw x=[2][/mm]
>
> Stimmt das?
Ja.
>
> Für [mm]\IR_4[/mm] komme ich nicht wirklich weiter..
> Also mein Ansatz:
> [mm]\([2]x+[2]=[2][/mm] [mm]|+[2][/mm]
> [mm]\gdw [2]x=[0][/mm]
>
> Aber jetzt weiß ich nich wie ich weiter komme. Wenn ich
> [mm]*[2][/mm] mache dann bekomme ich ja [mm][0]=[0][/mm]. x ist damit doch
> nicht eindeutig bestimmbar, oder?
>
Überlege für welche x diese Gleichung erfüllbar ist.
>
> Für die (b) wäre meine Idee:
>
> Für [mm]\IZ_3[/mm]:
> [mm]x^{2}+[2]x+[1]=[0][/mm]
> [mm](x+[1])^{2}=[0][/mm]
> [mm]x+[1]=[0][/mm] [mm]|+[2][/mm]
> [mm]x=[2][/mm]
> Passt das?
Ja.
>
> Bei [mm]\IZ_4[/mm] bekomme ich dann entsprechend:
> [mm]x^{2}+[2]x+[1]=[0][/mm]
> [mm](x+[1])^{2}=[0][/mm]
> [mm]x+[1]=[0][/mm] [mm]|+[3][/mm]
> [mm]x=[3][/mm]
Auch das paßt.
>
> Was meint ihr dazu?
>
> lg,
> nhard
Gruss
MathePower
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