Lösung einer Wurzel < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 So 27.03.2005 | | Autor: | vtch |
Moin Leute,
ich bin der Neue. Und gleich zum Thema:
In irgendeinem Matheforum habe ich vor kurzem gelesen, dass man in der Schule lernt, dass die Lösung von z.B. [mm] \wurzel{4} [/mm] 2 oder -2 ergibt. So habe ich das bis jetzt auch immer gerechnet, selbst der Matheprof der Mathegrundlagenvorlesung im ersten Semester. Jedenfalls ist mir damals nichts anderes aufgefallen.
Anscheinend soll es hier aber keine zwei Ergebnisse sondern immer nur das positive geben. Stimmt das? Und wenn ja: Warum ist das so?
Und wenn das tatsächlich so ist, gilt dies auch für etwas kompliziertere Diskriminanten mit Variable?, also z.B. in folgender Gleichung:
[mm] \wurzel{x+1} = 5 [/mm]
Muss man hier auf einmal auch keine Fallunterscheidung mehr machen??
Gruss & Dank
Christian
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 So 27.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
also soweit ich mich erinnern kann werden gleicheiten mit wurzeln folgendermaßen definiert:
[m] \sqrt{x} = y \; \Longleftrightarrow \; x = y^2 [/m]
das würde im konkreten fall heißen, dass für [m] \sqrt{4} = x \; \Longleftrightarrow \; 4 = x^2 [/m] und diese gleichung wird von [m] x = 2 [/m] und [m] x = -2 [/m] erfüllt, es gibt also zwei lösungen!
für [m] \sqrt{x+1} = 5 [/m] gibt es allerdings nur eine lösung, da [m] \sqrt{x+1} = 5 \; \Longleftrightarrow \; x + 1 = 25 [/m] nur die lösung [m] x = 24 [/m] besitzt (hier steht die variable in einem gewissen sinn auf der "anderen seite" der gleichung, daher nur eine lösung).
ich hoffe das hilft dir weiter, sonst frage nochmal nach.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 So 27.03.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo andreas,
> also soweit ich mich erinnern kann werden gleicheiten mit
> wurzeln folgendermaßen definiert:
>
> [m]\sqrt{x} = y \; \Longleftrightarrow \; x = y^2[/m]
>
> das würde im konkreten fall heißen, dass für [m]\sqrt{4} = x \; \Longleftrightarrow \; 4 = x^2[/m]
> und diese gleichung wird von [m]x = 2[/m] und [m]x = -2[/m] erfüllt, es
> gibt also zwei lösungen!
Sofern man in den reellen Zahlen rechnet, ist die Wurzel der Einfachheit halber immer die nicht-negative; andernfalls könnte man ja auch nicht schreiben [mm] $\wurzel{4}\red{=}2$, [/mm] sondern müßte ständig [mm] $\wurzel{4}=\{2,-2\}$ [/mm] schreiben (wie ja über [mm] $\IC$ [/mm] üblich).
In der Schule und dann in der Uni, wenn über den reellen Zahlen gerechnet wird, müßte die Definition dann also so lauten:
[m]\sqrt{x} = y \; \Longleftrightarrow \; x = y^2\ \wedge\ y\ge 0[/m]
Aber ich denke, das wird Loddar jetzt auch aufklären 
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 So 27.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
da hatte ich wohl mich schon zu sehr an die komplexe wurzeldefinition gewöhnt!
also vtch: schaue dir am besten Loddar's respektive marc's definition an.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 27.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christian!
> ich bin der Neue.
Na, denn mal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> In irgendeinem Matheforum habe ich vor kurzem gelesen, dass
> man in der Schule lernt, dass die Lösung von z.B.
> [mm]\wurzel{4}[/mm] 2 oder -2 ergibt.
> Anscheinend soll es hier aber keine zwei Ergebnisse sondern
> immer nur das positive geben. Stimmt das? Und wenn ja:
> Warum ist das so?
Ich habe das Gefühl, Du vermixt hier gerade zwei (etwas) unterschiedliche Dinge.
Die Gleichung [mm] $x^2 [/mm] \ = \ 4$ hat zwei Lösungen, nämlich:
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] \pm \wurzel{4} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] 2$
Die eigentliche Wurzel an sich ist wie folgt definiert:
Die n-te Wurzel aus einer nicht-negativen reellen Zahl $a$ heißt diejenige nicht-negative reelle Zahl $w$, deren n-te Potenz gleich $a$ ist:
[mm] [center]$\wurzel[n]{a} [/mm] \ = \ w$ [mm] $\gdw$ $w^n [/mm] \ = \ a$[/center]
$a \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR_0^+, [/mm] \ w \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR_0^+$
[/mm]
Das heißt nochmals deutlich: der eigentliche Wurzelwert ist immer der nicht-negative Zahlenwert (nicht-negativ = positive Zahlen sowie die Null = [mm] $\IR_0^+$ [/mm] ).
> Und wenn das tatsächlich so ist, gilt dies auch für etwas
> kompliziertere Diskriminanten mit Variable?, also z.B. in
> folgender Gleichung:
> [mm]\wurzel{x+1} = 5 [/mm]
> Muss man hier auf einmal auch keine Fallunterscheidung
> mehr machen??
Mit der o.g. Begründung ist diese Frage ja eigentlich hinfällig, oder?
Als Besonderheit ist hier nur zu beachten, daß ich ja beim Umformen die Gleichung quadriere und daher eine Probe machen muß, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
Ich hoffe, ich konnte etwas weiterhelfen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mo 28.03.2005 | | Autor: | vtch |
Guten Morgen,
vielen Dank an Loddar und die anderen. Stimmt, ich muss unterscheiden zwischen einer Zahl und einer Gleichung, bei der ich die Wurzel ziehe. Das war mir nicht so ganz klar und ich habe es bis jetzt seit der Schulzeit falsch gemacht. Aber das müsste mir schon früher aufgefallen sein, denn der Taschenrechner gibt mir ja auch nicht 2 Lösungen an 
Und meine Beispielsgleichung war natürlich schwachsinnig, da man durch das quadrieren genau eine Lösung erhält. Es hätte eine solche sein müssen, wie Loddar sie anbringt: [mm] x^2 = 4[/mm].
Wenn ich das jetzt auflöse, ist das auch keine Äuquivalenzumformung, oder? Eine Auflösung einer Betragsgleichung, bei der man ja auch zu einer Fallunterscheidung kommt, wäre auch nicht äquivalent, oder?
Gruss
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Christian!
> Und meine Beispielsgleichung war natürlich schwachsinnig,
> da man durch das quadrieren genau eine Lösung erhält. Es
> hätte eine solche sein müssen, wie Loddar sie anbringt: [mm]x^2 = 4[/mm].
>
> Wenn ich das jetzt auflöse, ist das auch keine
> Äuquivalenzumformung, oder?
Wenn Du aus Deinem o.g. Ausdruck gleich den folgenden Ausdruck machst, ist das völlig ok (also äquivalent):
[mm]x^2 \ = \ 4[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]|x| \ = \ 2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]x_{1,2} \ = \ \pm 2[/mm]
Du kannst ja auch folgenden Weg gehen:
[mm]x^2 \ = \ 4[/mm]
[mm]\gdw[/mm] [mm]x^2 - 4 \ = \ 0[/mm]
[mm]\gdw[/mm] [mm]x^2 - 2^2 \ = \ 0[/mm]
[mm]\gdw[/mm] [mm](x - 2)*(x + 2) \ = \ 0[/mm]
[mm]\gdw[/mm] [mm](x - 2)=0 \ \vee \ (x + 2)=0[/mm]
[mm]\gdw[/mm] [mm]x=2 \ \vee \ x=-2[/mm]
Aber den Umweg geht wohl niemand.
Aber Du siehst: hier sind ausschließlich Äquivalenzumformungen vorgenommen worden.
> Eine Auflösung einer Betragsgleichung, bei der man ja auch
> zu einer Fallunterscheidung kommt, wäre auch nicht äquivalent,
> oder?
Warum nicht? Irgendwie verstehe ich jetzt die Frage nicht ganz ... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Du mußt halt mit der Definition des Betrages arbeiten. Und das ist auch äquivalent.
[mm] |x|:=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{} \\ -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Mo 28.03.2005 | | Autor: | vtch |
.. alles klar. Die Nachfrage mit dem Betrag kam nur, weil ich da bis jetzt auch immer "gefolgert" habe, also nur diesen hier benutzt: [mm] \Rightarrow [/mm] .
Gruss
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