Lösung einer Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Do 05.07.2018 | | Autor: | Hect0r |
| Aufgabe | | Es ist zu zeigen, dass [mm] $\frac{(a+1)\cdot x^{a+1}\cdot (1-x^{b-a-1})}{(b-a-1)\cdot (1-x^{a+1})}<\frac{a\cdot x^{a}\cdot (1-x^{b-a})}{(b-a)\cdot (1-x^{a})}$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in \IN^+$ [/mm] mit $b>a+1$ und [mm] $x\in [/mm] (0,1)$. |
Hallo zusammen,
ich versuche nun schon seit einiger Zeit die Aufgabe zu lösen. Ich kann zeigen, dass die Ungleichung für [mm] $x\rightarrow [/mm] 1$ bindet und umgekehrt für $x [mm] \rightarrow [/mm] 0$ erfüllt ist. Ich habe die Ungleichung umgeformt zu [mm] $0<(b-a-1)\cdot [/mm] a+ [mm] b\cdot [x^{b-a}+x^{a+1}]+a\cdot [/mm] (b-a-1) [mm] \cdot x^{b+1}-(b-a)\cdot (a+1)\cdot [x+x^b]$ [/mm] bzw. [mm] $b\cdot x\cdot (1-x^a)\cdot (1-x^{b-a-1})
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Hector
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Sa 07.07.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
was bedeutet es, dass eine Ungleichung "bindet"
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 So 08.07.2018 | | Autor: | Hect0r |
Hallo Leduart,
ich wollte damit ausdrücken, dass Gleichheit herrscht für $x=1$.
Viele Grüße
Hect0r
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Do 12.07.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe erst mal nur überprüft ob die umgeformte Ungleichung für b=4, a=2
stimmen kann
$ [mm] b\cdot x\cdot (1-x^a)\cdot (1-x^{b-a-1})
[mm] 4*x*(1-x^2)<2*(1-x^4)*(1-x)-> 4x(1+x)<2*(1-x^4)
[/mm]
und siehe da, es stimmt nur für x<0,37 siehe Bild
also ist irgend was faul
Gruß ledum
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:59 Do 12.07.2018 | | Autor: | Hect0r |
Hallo Leduart,
herzlichen Dank. Ich fürchte jedoch, dass sich ein Tippfehler eingeschlichen hat. Mit $a=2$ und $b=4$ ergibt sich für die linke Seite [mm] $4x(1-x^2)(1-x)$ [/mm] und für die rechte Seite [mm] $2(1-x^4)(1-x)$.
[/mm]
Mir ist jedoch Folgendes aufgefallen. Ich kann die Ungleichung umformen und erhalte [mm] $\frac{(1-x^a)\cdot (1-x^{b-a-1})}{a\cdot (b-a-1)}<\frac{(1-x)\cdot (1-x^b)}{x\cdot b}$. [/mm] Die rechte Seite ist unabhängig von $a$ folglich kann ich mir anschauen, welches $a$ die linke Seite maximiert. Nun würde ich gerne zeigen, dass dies $a=1$ bzw. durch eine Symmetrie auch $a=b-2$ ist. Das gelingt mir aber leider noch nicht.
Hilfsproblem:
[mm] $$\max_{a\in \{1, 2, \cdots, b-2\}} \frac{(1-x^a)\cdot (1-x^{b-a-1})}{a\cdot (b-a-1)}$$
[/mm]
Viele Grüße
Hect0r
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:27 Fr 13.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leduart,
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> herzlichen Dank. Ich fürchte jedoch, dass sich ein
> Tippfehler eingeschlichen hat. Mit [mm]a=2[/mm] und [mm]b=4[/mm] ergibt sich
> für die linke Seite [mm]4x(1-x^2)(1-x)[/mm] und für die rechte
> Seite [mm]2(1-x^4)(1-x)[/mm].
>
> Mir ist jedoch Folgendes aufgefallen. Ich kann die
> Ungleichung umformen und erhalte [mm]\frac{(1-x^a)\cdot (1-x^{b-a-1})}{a\cdot (b-a-1)}<\frac{(1-x)\cdot (1-x^b)}{x\cdot b}[/mm].
> Die rechte Seite ist unabhängig von [mm]a[/mm] folglich kann ich
> mir anschauen, welches [mm]a[/mm] die linke Seite maximiert
> . Nun
> würde ich gerne zeigen, dass dies [mm]k=1[/mm] bzw. durch eine
> Symmetrie auch [mm]k=n-2[/mm] ist.
Wieder und wieder habe ich mir diesen Satz durchgelesen, aber ich verstehe ihn nicht.
Was ist n ? Wo kommt das plötzlich her ?
> Das gelingt mir aber leider noch
> nicht.
>
> Hilfsproblem:
> [mm]\max_{k\in \{1, 2, \cdots, n-2\}} \frac{(1-x^a)\cdot (1-x^{b-a-1})}{a\cdot (b-a-1)}[/mm]
>
Freds Problem : in dem zu maximierenden Ausdruck kommt kein k und kein n vor ?
> Viele Grüße
>
> Hect0r
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:42 Fr 13.07.2018 | | Autor: | Hect0r |
Lieber Fred,
mein Fehler. Ich meinte $a=1$ bzw $a=b-2$. Ich habe es nun editiert.
Vielen Dank und viele Grüße
Hect0r
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 14.07.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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