Lösung einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Mi 28.07.2010 | | Autor: | Megumi |
| Aufgabe | Geben Sie die Lösung folgender Reihe an
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{9n^{2} + 3n -1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Reihe folgendermaßen gelöst:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{9n^{2} + 3n -1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{(3n + \bruch{1}{2})^{2} - \bruch{9}{4}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{(3n + \bruch{1}{2} - \bruch{3}{2})(3n + \bruch{1}{2} - \bruch{3}{2})} [/mm] = 3 [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(3n + 2)(3n - 1)} [/mm] = 3 [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(3n - 1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(3n + 2)} [/mm] = [mm] 3(\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] - [mm] \bruch{1}{11} [/mm] ...) = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Leider ist die Lösung laut WolframAlpha [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Könnt ihr mir sagen wo mein Fehler liegt und wie ich auf die richtige Lösung komme?
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Hallo Megumi und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Geben Sie die Lösung folgender Reihe an
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{9n^{2} + 3n -1}[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> Ich habe die Reihe folgendermaßen gelöst:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{9n^{2} + 3n -1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{(3n + \bruch{1}{2})^{2} - \bruch{9}{4}}[/mm]
Hmm, ich glaube, hier stimmt was nicht.
Es ist [mm] $9n^2+3n-1=\left(3n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-1=\left(3n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{\red{5}}{4}$ [/mm] ...
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{(3n + \bruch{1}{2} - \bruch{3}{2})(3n + \bruch{1}{2} - \bruch{3}{2})}[/mm]
> = 3 [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(3n + 2)(3n - 1)}[/mm] = 3
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(3n - 1)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(3n + 2)}[/mm]
> = [mm]3(\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{5}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] - [mm]\bruch{1}{11}[/mm] ...) =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Leider ist die Lösung laut WolframAlpha [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
> Könnt ihr mir sagen wo mein Fehler liegt und wie ich auf
> die richtige Lösung komme?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mi 28.07.2010 | | Autor: | Megumi |
Die [mm] \bruch{9}{4} [/mm] waren wohl Wunschtraumdenken, jetzt funktioniert meine binomische Formel wohl nicht mehr so schön... Trotzdem vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo,
ich vermute mal ganz stark, dass im Nenner [mm] $9n^2+3n-\red{2}$ [/mm] steht, dann kommt das nämlich auch hin mit dem Ergebnis und deiner Rechnung:
Du hattest [mm] $3\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$
[/mm]
Dann ist eine Partialbruchzerlegung fällig, die du wohl auch gemacht zu haben scheinst.
Ansatz: [mm] $\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{A}{3n-1}+\frac{B}{3n+2}$
[/mm]
Ergibt [mm] $A=\frac{1}{3}, B=-\frac{1}{3}$
[/mm]
Mithin [mm] $3\cdot{}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\cdot{}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)$
[/mm]
Die $3$ und [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] heben sich zu 1 weg.
Betrachtest du die Partialsumme [mm] $\sum\limits_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)$, [/mm] so ergibt sich [mm] $\frac{1}{2}-\frac{1}{3k+2} [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Fr 30.07.2010 | | Autor: | Megumi |
Stimmt, du hast Recht mit der 2 und danke für den Hinweis mit der Partialbruchzerlegung, die musste ich mir nochmal angucken. Aber jetzt ist mir die Aufgabe klar. Vielen Dank nochmals.
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