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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Karl87 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gleichung 2x-sin(x)=1/2 genau eine Lösung im Intervall [mm] [0,\pi/2] [/mm] besitzt. Bestimmen Sie auf 2 Stellen genau. |
Hallo Leute,
Wie fange ich hier an!? Mir fehlt ein Ansatz!
Bin für jeden Tip dankbar.
Gruß.
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Hallo Karl87,
> Zeigen Sie, dass die Gleichung 2x-sin(x)=1/2 genau eine
> Lösung im Intervall [mm][0,\pi/2][/mm] besitzt. Bestimmen Sie auf 2
> Stellen genau.
> Hallo Leute,
> Wie fange ich hier an!? Mir fehlt ein Ansatz!
> Bin für jeden Tip dankbar.
Betrachte die Funktion [mm] $g(x):=2x-\sin(x)-\frac{1}{2}$
[/mm]
Dann ist die Ausgangsaufgabe äquivalent dazu, zu zeigen, dass $g$ auf besagtem Intervall genau eine Nullstelle hat.
Berechne dann mal $g(0)$ und [mm] $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$
[/mm]
Außerdem ist $g$ stetig, welcher bekannte Satz springt dir dann ins Auge?!
Das sichert dir die Existenz einer NST auf dem Intervall [mm] $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$
[/mm]
Für die Eindeutigkeit betrachte mal das Monotonieverhaten von $g$ auf dem besagten Intervall ...
>
> Gruß.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Karl87 |
> Betrachte die Funktion [mm]g(x):=2x-\sin(x)-\frac{1}{2}[/mm]
>
> Dann ist die Ausgangsaufgabe äquivalent dazu, zu zeigen,
> dass [mm]g[/mm] auf besagtem Intervall genau eine Nullstelle hat.
Genau. Ist klar.
>
> Berechne dann mal [mm]g(0)[/mm] und [mm]g\left(\frac{\pi}{2}\right)[/mm]
Okay, das wäre dann
g(0)= -1/2 und [mm] g(\pi/2)=\pi [/mm] - 3/2
>
> Außerdem ist [mm]g[/mm] stetig, welcher bekannte Satz springt dir
> dann ins Auge?!
>
Mh, zur Stetigkeit? Ich weiß es nicht! Kannst du mir auf die Sprünge helfen?
> Das sichert dir die Existenz einer NST auf dem Intervall
> [mm]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/mm]
>
> Für die Eindeutigkeit betrachte mal das Monotonieverhaten
> von [mm]g[/mm] auf dem besagten Intervall ...
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Hallo nochmal,
> > Betrachte die Funktion [mm]g(x):=2x-\sin(x)-\frac{1}{2}[/mm]
> >
> > Dann ist die Ausgangsaufgabe äquivalent dazu, zu zeigen,
> > dass [mm]g[/mm] auf besagtem Intervall genau eine Nullstelle hat.
>
> Genau. Ist klar.
> >
> > Berechne dann mal [mm]g(0)[/mm] und [mm]g\left(\frac{\pi}{2}\right)[/mm]
>
> Okay, das wäre dann
> g(0)= -1/2 und [mm]g(\pi/2)=\pi[/mm] - 3/2
Insbesondere $g(0)<0$ und [mm] $g\left(\frac{\pi}{2}\right)>0$
[/mm]
> >
> > Außerdem ist [mm]g[/mm] stetig, welcher bekannte Satz springt dir
> > dann ins Auge?!
> >
> Mh, zur Stetigkeit? Ich weiß es nicht! Kannst du mir auf
> die Sprünge helfen?
Na, in deinem Profil steht Student im Grundstudium, da behandelt man doch Sätze zur Stetigkeit.
Der Zwischenwertsatz sollte dir aber unbedingt ein Begriff sein! Was sagt er hier aus?
>
> > Das sichert dir die Existenz einer NST auf dem Intervall
> > [mm]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/mm]
> >
> > Für die Eindeutigkeit betrachte mal das Monotonieverhaten
> > von [mm]g[/mm] auf dem besagten Intervall ...
>
>
Mit dem ZWS hast du die Existenz, nun mache dich an die Eindeutigkeit.
Die Berechnung auf 2 Nachkommastellen kannst du etwa mit dem Intervallschachtelungsprinzip angehen ...
Gruß
schachuzipus
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