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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 So 30.01.2011 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe 1 | | [mm] y'=y*cos(\sqrt{x}) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] y'=\bruch{y*ln(y)}{sin(x)} [/mm] |
Hallo allesamt,
bin hier, leider recht früh, an eine Stelle gelangt, wo ich leider mit meinem Latein am Ende bin.
Nach Trennung der Variablen lande ich bei:
[mm] \integral{\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral{cos(\sqrt{x}) dx}
[/mm]
Wie kann ich einen Ansatz für das Integral mit dem Cosinus wählen?
Ich persönlich finde weder die Brechstange bei der Partiellen, noch bei der Integration durch Substitution.
Habe selbst einfach mal gesponnen und überlegt, ob man eigentlich die Substitutionsregel auch "rückwärts" rechnen kann?
Soll heißen:
[mm] \integral{cos(u) du} [/mm] = [mm] \integral{cos(u(x))*u'(x) dx} [/mm] ?
Habe noch persönlich noch nie gesehen, aber das schließt die Möglichkeit ja nicht aus. Falls man es nicht machen darf, wäre eine kleine Erklärung super. Habe zwar mal versucht die Geschichte auf das Bsp. hier anzuwenden, bin jedoch kläglich gescheitert.
Bei der 2. Aufgabe ähnliche Probleme.
Ich komme bis zu folgender Stelle:
[mm] \integral{\bruch{1}{sin(x)} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{y*ln(y)} dy}
[/mm]
Auch hier hoffe ich auf einen Ansatz für die Sinus- Seite, weil ich leider nicht weiß wie man hier anfangen soll, um das Integral lösen zu können ..
Vorab besten Dank für die Hilfe
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum o.Ä. gestellt.
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Hallo Maggons,
> [mm]y'=y*cos(\sqrt{x})[/mm]
> [mm]y'=\bruch{y*ln(y)}{sin(x)}[/mm]
> Hallo allesamt,
> bin hier, leider recht früh, an eine Stelle gelangt, wo
> ich leider mit meinem Latein am Ende bin.
>
> Nach Trennung der Variablen lande ich bei:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y} dy}[/mm] = [mm]\integral{cos(\sqrt{x}) dx}[/mm]
>
> Wie kann ich einen Ansatz für das Integral mit dem Cosinus
> wählen?
> Ich persönlich finde weder die Brechstange bei der
> Partiellen, noch bei der Integration durch Substitution.
>
Die Substitution [mm]x=z^{2}[/mm] hilft hier weiter.
> Habe selbst einfach mal gesponnen und überlegt, ob man
> eigentlich die Substitutionsregel auch "rückwärts"
> rechnen kann?
> Soll heißen:
>
> [mm]\integral{cos(u) du}[/mm] = [mm]\integral{cos(u(x))*u'(x) dx}[/mm] ?
>
> Habe noch persönlich noch nie gesehen, aber das schließt
> die Möglichkeit ja nicht aus. Falls man es nicht machen
> darf, wäre eine kleine Erklärung super. Habe zwar mal
> versucht die Geschichte auf das Bsp. hier anzuwenden, bin
> jedoch kläglich gescheitert.
>
>
> Bei der 2. Aufgabe ähnliche Probleme.
> Ich komme bis zu folgender Stelle:
>
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{sin(x)} dx}[/mm] =
> [mm]\integral{\bruch{1}{y*ln(y)} dy}[/mm]
>
> Auch hier hoffe ich auf einen Ansatz für die Sinus- Seite,
> weil ich leider nicht weiß wie man hier anfangen soll, um
> das Integral lösen zu können ..
>
Verwende folgenden Trick:
[mm]\bruch{1}{\sin\left(x\right)}=\bruch{1}{2*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)}=\bruch{\sin^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)+\cos^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)}{2*\sin\left(\bruch{x}{2}\right)*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)}[/mm]
>
> Vorab besten Dank für die Hilfe
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum o.Ä.
> gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 So 30.01.2011 | | Autor: | Maggons |
Hallo und vorab vielen Dank für die Hinweise,
zu 1)
leider bringt mich der Hinweis gar nicht weiter sondern bestärkt eher nochmal meine Frage, die ich oben bereits gestellt habe.
Aus meiner naiven Sicht ist spontan eine Substitution mit [mm] z^{2}=x [/mm] nichts anderes als eine Substitution von [mm] z=\sqrt{x}. [/mm] Im Endeffekt fehlt mir doch einfach z' vor dem Bruch oder darf ich es wirklich "einfach ergänzen", quasi die Substituionsregel umkehren ... ? Hatte es ja wie gesagt schonmal kurz versucht, bin aber mit Erweiterungen wie [mm] \bruch{1}{2*\sqrt{x}} [/mm] leider kein Stück weiter gekommen.
zu 2)
auch da bin ich leider wieder ins Stocken gekommen. Das einzige bekannte, wo ich das Problem drauf abwälzen konnte war:
[mm] \bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{2\cdot{}\\cos\left(\bruch{x}{2}\right)} [/mm] +
[mm] \bruch{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)}{2\cdot{}\\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}
[/mm]
Und wenn ich meinem TI glauben darf, kommt nun leider schon nicht mehr das gleiche Ergebnis heraus ... hätte es von hier an dann einfach über Substitution gelöst, habe aber scheinbar bis zu diesem Schritt schon irgendwas getan, was ich lieber nicht hätte machen sollen ... ?
Komme mir langsam bei diesem Übungszettel echt bescheuert vor.
Nochmals vorab vielen Dank für jegliche Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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Hallo Maggons,
> Hallo und vorab vielen Dank für die Hinweise,
>
> zu 1)
>
> leider bringt mich der Hinweis gar nicht weiter sondern
> bestärkt eher nochmal meine Frage, die ich oben bereits
> gestellt habe.
>
> Aus meiner naiven Sicht ist spontan eine Substitution mit
> [mm]z^{2}=x[/mm] nichts anderes als eine Substitution von
> [mm]z=\sqrt{x}.[/mm] Im Endeffekt fehlt mir doch einfach z' vor dem
> Bruch oder darf ich es wirklich "einfach ergänzen", quasi
> die Substituionsregel umkehren ... ? Hatte es ja wie gesagt
> schonmal kurz versucht, bin aber mit Erweiterungen wie
> [mm]\bruch{1}{2*\sqrt{x}}[/mm] leider kein Stück weiter gekommen.
Es ist
[mm]x = z^{2} \rightarrow dx = 2z \ dz[/mm]
Dieses nun in das Integral eingesetzt:
[mm]\integral_{}^{}{\cos\left(\wurzel{x}\right) \ dx}=\integral_{}^{}{\cos\left(z\right) \ 2z \ dz}[/mm]
Berechne daher das zuletzt angegebene Integral
und mache dann die Substitution wieder rückgängig.
>
> zu 2)
>
> auch da bin ich leider wieder ins Stocken gekommen. Das
> einzige bekannte, wo ich das Problem drauf abwälzen konnte
> war:
>
> [mm]\bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}{2\cdot{}\\cos\left(\bruch{x}{2}\right)}[/mm]
> +
> [mm]\bruch{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)}{2\cdot{}\\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}[/mm]
>
>
> Und wenn ich meinem TI glauben darf, kommt nun leider schon
> nicht mehr das gleiche Ergebnis heraus ... hätte es von
> hier an dann einfach über Substitution gelöst, habe aber
> scheinbar bis zu diesem Schritt schon irgendwas getan, was
> ich lieber nicht hätte machen sollen ... ?
>
Hier haben doch die Summanden die Form
[mm]\bruch{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}[/mm]
Diese Integrale sind hinlänglich bekannt.
>
> Komme mir langsam bei diesem Übungszettel echt bescheuert
> vor.
>
>
> Nochmals vorab vielen Dank für jegliche Hilfe.
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
> Maggons
Gruss
MatehPower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 So 30.01.2011 | | Autor: | Maggons |
Hallo und nochmals vielen Dank für die Ausführungen,
zu 1) habe nun das gewünschte Ergebnis:
[mm] $y=k\cdot{}e^{2\cdot{}(\sqrt{x}\cdot{}\sin(\sqrt{x})+\cos(\sqrt(x))}$
[/mm]
ich würde jedoch gerne noch verstehen wie man nun genau auf die Substitution an der Stelle kommt.
Wenn ich, aus meiner Sicht, einfach [mm] z=\sqrt{x} [/mm] ersetze, müsste doch z' eher etwas wie [mm] $\bruch{1}{2\cdot{}\sqrt{x}}$ [/mm] sein ... dafür wäre eine Erklärung noch super, damit ich nächstes mal auf selbst drauf kommen kann.
zu 2)
als Ergebnis des Teils mit dem Sinus hätte ich, wie vorhin geschrieben, zwar ein Ergebnis heraus, nämlich
[mm] $\ln\left(\bruch{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)}{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}\right) [/mm] + C$
aber leider stimmt das nicht mit dem Ergebnis meines Ti überein ... daher scheint es hier ja noch etwas anderes zu geben, statt dieser "simplen" Substitution.
Auch auf der anderen Seite bei [mm] $\integral{\bruch{1}{y\cdot{}\ln(y)} dy}$ [/mm] weiß ich leider nicht mehr so recht weiter ... als Ergebnis soll wohl [mm] $\ln(\ln(x))$ [/mm] heraus kommen .... aber auch das ist leider wieder ein Buch mit mindestens 7 Siegeln, wie man das aus dem Integral herausholen soll ..
Aber nun gehe ich lieber über die Sache erstmal eine Nacht schlafen.
Nochmals besten Dank für die bisherigen Hilfestellungen
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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Hallo Maggons,
> Hallo und nochmals vielen Dank für die Ausführungen,
> zu 1) habe nun das gewünschte Ergebnis:
>
> [mm]y=k\cdot{}e^{2\cdot{}(\sqrt{x}\cdot{}\sin(\sqrt{x})+\cos(\sqrt(x))}[/mm]
> ich würde jedoch gerne noch verstehen wie man nun genau
> auf die Substitution an der Stelle kommt.
> Wenn ich, aus meiner Sicht, einfach [mm]z=\sqrt{x}[/mm] ersetze,
> müsste doch z' eher etwas wie [mm]\bruch{1}{2\cdot{}\sqrt{x}}[/mm]
> sein ...
Jo, und mit deiner Substitution [mm]z=\sqrt{x}[/mm] ist das nix anderes als [mm]\frac{1}{2\cdot{}z}[/mm]
Kommt auf dasselbe heraus ...
> dafür wäre eine Erklärung noch super, damit ich
> nächstes mal auf selbst drauf kommen kann.
>
> zu 2)
> als Ergebnis des Teils mit dem Sinus hätte ich, wie
> vorhin geschrieben, zwar ein Ergebnis heraus, nämlich
>
> [mm]\ln\left(\bruch{\cos\left(\bruch{x}{2}\right)}{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}\right) + C[/mm]
>
> aber leider stimmt das nicht mit dem Ergebnis meines Ti
> überein ...
Was hat der denn ausgespuckt?
Wenn ich von dem obigen Term [mm]\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{\cos\left(\frac{x}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)}[/mm] ausgehe, so ergibt sich doch für das Integral
[mm]\red{-}\ln\left(\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right|\right) \ + \ \ln\left(\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right|\right) \ + \ C[/mm]
Für den ersten Summanden substituiere [mm]u=u(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)[/mm], für den zweiten [mm]z=z(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)[/mm]
> daher scheint es hier ja noch etwas anderes zu
> geben, statt dieser "simplen" Substitution.
>
> Auch auf der anderen Seite bei
> [mm]\integral{\bruch{1}{y\cdot{}\ln(y)} dy}[/mm] weiß ich leider
> nicht mehr so recht weiter ... als Ergebnis soll wohl
> [mm]\ln(\ln(x))[/mm] heraus kommen
Oder [mm]\ln(\ln(\red{y}))[/mm] 
> .... aber auch das ist leider
> wieder ein Buch mit mindestens 7 Siegeln, wie man das aus
> dem Integral herausholen soll ..
Na, probiere doch naheliegende Substitutionen, mir würde als erstes einfallen: [mm]z=z(y)=\ln(y)[/mm] zu probieren, immerhin steht mit [mm]\frac{1}{y}[/mm] ja die Ableitung [mm]z'=\frac{dz}{dy}[/mm] schon im Integral ...
>
> Aber nun gehe ich lieber über die Sache erstmal eine Nacht
> schlafen.
>
> Nochmals besten Dank für die bisherigen Hilfestellungen
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
Gruß
schachuzipus
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