Lösung einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | (entsprichte der Fragestellung!) |
Hallo Leute!
...und einen schönen Tag!
Ich habe eine Frage zum Lösen einer DGL, welche den Aufladungsvorgang eines Konsators beschreibt.
Das ist die DGL:
[mm]U_0=\left \bruch{Q}{C} \right+R*Q'[/mm]
Nach der Division durch [mm]R[/mm] ergibt sich meiner Meinung nach eine lineare inhomgene DGL, welche so aussieht:
[mm]Q'+Q*\left \bruch{1}{R*C} \right=\left \bruch{U_0}{R} \right[/mm]
Nun ist die allgemeien Lösung doch:
[mm]Q_a=A*e^{-\left \bruch{t}{R*C} \right}[/mm]
Um die partikuläre Lösung zu erhalten, fürhe ich zunächste die Variation der Konstanten duch:
[mm]A(t)=\integral_{}^{}\left \bruch{U_0}{R} \right*e^{\left \bruch{t}{R*C} \right} \, dt=C*U*e^{\left \bruch{t}{R*C} \right}[/mm]
Und somit die partikuläre Lösung:
[mm]Q_p=C*U[/mm]
Und damit als Lösung:
[mm]Q=A*e^{-\left \bruch{t}{R*C} \right}+C*U[/mm]
...wobei noch mit einer sinnvollen Anfangsbedingung [mm]A[/mm] zu bestimmen ist.
Dabei denke ich an sowas wie [mm]Q(0)=0[/mm].
Jedoch würde ich gerne euch fragen, wo das, was ich gerechnet habe unter der Vorraussetzung, dass die DGL richtig ist, überhaupt richtig ist.
Wenn jemand mir darüberhinaus noch sagen kann, ob der Ansatz überhaupt korrekt ist, wäre das sehr nett!
Schon mal ein großes Danke im Vorraus!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Goldener Schnitt,
Deine Rechnung kann ich soweit nachvollziehen und auch die Dimensionen scheinen zu stimmen. Schaltungstechnisch gehört zu dieser DGL eine Batterie mit der Spannung [mm] U_0 [/mm], die über einen Widerstand den Kondensator auflädt. Hierzu wird zum Zeitpunkt [mm] t = 0 [/mm] ein Schalter geschlossen, der in Serie zur Batterie liegt. Was Du bestimmst, ist die aktuelle Ladung im Kondensator.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | | (bezieht sich auf Vorraussgegangenes!) |
Hallo Infinit!
...und einen schönen Abend sowie danke für deine Antwort!
Ich möchte jedoch mal hinterherfrage, im Bezug auf die Konstante.
Mit der Anfangsbedingung [mm]Q(0)=0[/mm] ergibt sich dann:
[mm]Q=C*U_0*(1-e^{-\left \bruch{t}{R*C} \right})[/mm]
Ist das so korrekt?
Es wäre echt lieb, wenn diese mal jemand überprüfen könnte!
Danke!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Goldener Schnitt,
die Ladung ist ja zeitabhängig, also ein [mm] Q(t) [/mm]und wenn Du den Zeitnullpunkt einsetzt, kommt genau [mm] Q(0) = 0 [/mm] dabei raus. Als Gegenkontrolle, dass man richtig gerechnet hat, kann man schnell solche Randbedingugen einsetzen.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | | (Bezieht sich auf Vorrangegangenes!) |
Hallo Infinit!
Noch einmal danke für deine Antwort!
Zunächst mal ist mir aufgefallen, dass man [mm]U_0*C=Q_0[/mm] setzen kann. Dann stimmt die Gleichung mit einer überein, die ich auf einer anderen Internetseite gefunden habe. Es entsteht:
[mm]Q=C*U_0*(1-e^{-\left \bruch{t}{R\cdot{}C} \right})=Q_0*(1-e^{-\left \bruch{t}{R\cdot{}C} \right})[/mm]
Nach dividieren durch [mm]C[/mm] erhält man sogar die Zeit-Spannungsfunktion:
[mm]U=U_0*(1-e^{-\left \bruch{t}{R\cdot{}C} \right})[/mm]
Bildet man die Ableitung nach der Zeit erhält man auch noch die Stromstärke-Zeit Funktion zu (entwas schöner aufgeschrieben ):
[mm]I(t)=\left \bruch{Q_0}{R*C} \right*e^{-\left \bruch{t}{R*C} \right}[/mm]
Somit ist die gesuchte Funktion gefunden, cool !
Tut mir leid, dass dieser Artikel als Frage gekenzeichnet ist, das war ein Versehen!
Mit lieben Grüßen
Goldener Schnitt
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