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Lösung der Doppelsumme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösung der Doppelsumme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Mi 28.05.2008
Autor: griessie

Aufgabe
[mm] s^{2}x^{T}Cx [/mm] = [mm] s^{2}\summe_{i=0}^{k}\summe_{h=0}^{k}c_{ih}x_{i}x_{h} [/mm]

Hallo Freunde,

könnt ihr mir bitte, bitte bei der Interpretation/Lösung dieser Doppelsumme helfen.

[mm] s^2 [/mm] ist bekannt. k=3.

Die Formel berechnet die Varianz der Schätzung der Regressionsfunktion an einer vorgegebenen Stelle nach:
Rasch, Verfahrensbibliothek-Versuchsplanung und Auswertung, Band II, S 252, Gleichung 22

Die Gleichung ist eine Teillösung zur Ermiitlung von Konfidenzbänder von nichtlinearen Regressionskurven. Ich werde anschliesend in das Forum um Hilfe für ein konkretes Beispiel bitten. Wer also Lust hat ...

Auf jeden Fall schon mal Danke für die Hilfe bei diesem Problem! griessie

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lösung der Doppelsumme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Mi 28.05.2008
Autor: angela.h.b.


> [mm]s^{2}x^{T}Cx[/mm] =
> [mm]s^{2}\summe_{i=0}^{k}\summe_{h=0}^{k}c_{ih}x_{i}x_{h}[/mm]
>  Hallo Freunde,
>  
> könnt ihr mir bitte, bitte bei der Interpretation/Lösung
> dieser Doppelsumme helfen.

Hallo,

[willkommenmr].

verstehe ich Dich recht, wenn ich davon ausgehe, daß Du nicht verstehst, was mit dieser Doppelsumme gemeint ist?

Dabei kann ich Dir helfen. Bei dem ganzen Rest nicht.


>  
> [mm]s^2[/mm] ist bekannt. k=3.

Dann ist

[mm] s^{2}\summe_{i=0}^{k}\summe_{h=0}^{k}c_{ih}x_{i}x_{h} [/mm]

[mm] =s^{2}\summe_{i=0}^{3}\summe_{h=0}^{3}c_{ih}x_{i}x_{h} [/mm]

[mm] =s^{2}\summe_{i=0}^{k}(c_{i0}x_{i}x_{0}+c_{i1}x_{i}x_{1}+c_{i2}x_{i}x_{2}+c_{i3}x_{i}x_{3}) [/mm]

[mm] =(c_{00}x_{0}x_{0}+c_{01}x_{0}x_{1}+c_{02}x_{0}x_{2}+c_{03}x_{0}x_{3}) [/mm] + [mm] (c_{10}x_{1}x_{0}+c_{11}x_{1}x_{1}+c_{12}x_{1}x_{2}+c_{13}x_{1}x_{3}) [/mm] + [mm] (c_{20}x_{2}x_{0}+c_{21}x_{2}x_{1}+c_{22}x_{2}x_{2}+c_{23}x_{2}x_{3}) [/mm] + [mm] (c_{30}x_{3}x_{0}+c_{31}x_{3}x_{1}+c_{32}x_{3}x_{2}+c_{33}x_{3}x_{3}) [/mm]

ich habe hierbei zuerst die hintere Summe ausgeschrieben, indem ich für h nacheinander 0,1,2,3 eigesetzt und aufsummiert habe.

Dann habe ich dasselbe mit dem entstandenen Ausdruck für i=0,1,2,3 gemacht.


Das ganze entsteht so:

links hast Du [mm] s^{2}x^{T}Cx. [/mm]

C dürfte eine 4x4 Matrix [mm] C=\pmat{ c_0_0 &...& c_0_3 \\ c_1_0 &...& c_1_3\\c_2_0 &...& c_2_3 \\ c_3_0 &...& c_3_3} [/mm] sein,

x ein Spaltenvektor [mm] x=\vektor{x_0 \\ x_1\\x_2\\x_3}, [/mm]

[mm] x^t [/mm] der Zeilenvektor [mm] \pmat{x_0 & x_1& x_2& \x_3}. [/mm]

Cx ergibt einen Spaltenvektor, [mm] Cx=\vektor{c_0_0x_0 +...+ c_0_3x_3 \\ c_1_0x_0+ ... c_1_3x_3\\...\\...}, [/mm]

dieser wird dann mit [mm] x^t [/mm] multipliziert, also

[mm] \pmat{x_0 & x_1& x_2& \x_3}\vektor{c_0_0x_0 +...+ c_0_3x_3 \\ c_1_0x_0+ ... c_1_3x_3\\...\\...} [/mm]

[mm] =x_0(c_0_0x_0 [/mm] +...+ [mm] c_0_3x_3)+x_1(c_1_0x_0+ [/mm] ... [mm] c_1_3x_3)+...+... [/mm]


Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Lösung der Doppelsumme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:31 Mi 28.05.2008
Autor: griessie

Vielen lieben Dank Angela.

Das ging ja rasend schnell. Jetzt sieht das für mich schon viel verständlicher aus.

Also danke nochmal!

Andreas

Bezug
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