Lösung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die DGL (1+x)*y' + [mm] \bruch{2y}{1-x}=0
[/mm]
a)Bestimmen Sie den Definitionsbreich der DGL und geben Sie ihn als Vereinigung von Intervallen an.
b)Ermitteln Sie in jedem dieser Intervalle die allgemeine Lösung der DGL und geben dabei das maximale Definitionsintervall der Lösung an. |
Hallo, ich hab versucht die obige Aufgabe zu lösen und bin bis jetzt soweit gekommen:
a)In diesem Beispiel muss x [mm] \not= [/mm] 1 sein,da man sonst durch 0 teilt, also ist der Definitionsbereich D={ x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \not= [/mm] 1}, als Vereinigung von Intervall ist das D={ x [mm] \in \IR [/mm] | x > 1} [mm] \cup [/mm] { x [mm] \in \IR [/mm] | x < 1}.
b) für x > 1:
[mm] y'=\bruch{2y}{(1-x)(1+x)} =\bruch{2y}{1-x^2}
[/mm]
dies ist eine seperable DGL mit [mm] X(x)=(1-x^2)^{-1} [/mm] und Y(y)=2y.
einsetzen in [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{Y(y)} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{X(x) dx}, [/mm] also lösen mit TdV:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{2y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2} dx}
[/mm]
Löse:
[mm] \bruch{1}{2}*ln|2y| [/mm] + [mm] c_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2x}* ln|1-x^2| [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] mit [mm] c_{2}-c_{1} [/mm] = [mm] c_{3}
[/mm]
So bin jetz an der Stelle aber wie macht man weiter? Man kann noch beide Seiten mal 2 rechnen damit das 1/2 rausfällt aber weiter weiß ich auch nicht :( Kann mir jemand helfen?
Danke schon mal^^
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 31.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Gegeben ist die DGL (1+x)*y' + [mm]\bruch{2y}{1-x}=0[/mm]
> a)Bestimmen Sie den Definitionsbreich der DGL und geben
> Sie ihn als Vereinigung von Intervallen an.
> b)Ermitteln Sie in jedem dieser Intervalle die allgemeine
> Lösung der DGL und geben dabei das maximale
> Definitionsintervall der Lösung an.
> Hallo, ich hab versucht die obige Aufgabe zu lösen und
> bin bis jetzt soweit gekommen:
> a)In diesem Beispiel muss x [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 sein,da man sonst
> durch 0 teilt, also ist der Definitionsbereich D={ x [mm]\in \IR[/mm]
> | x [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}, als Vereinigung von Intervall ist das D={ x
> [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x > 1} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x < 1}.
>
> b) für x > 1:
> [mm]y'=\bruch{2y}{(1-x)(1+x)} =\bruch{2y}{1-x^2}[/mm]
sobald du durch 1+x teilst muss [mm] x\ne-1 [/mm] sein!
> dies ist
> eine seperable DGL mit [mm]X(x)=(1-x^2)^{-1}[/mm] und Y(y)=2y.
> einsetzen in [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{Y(y)} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{X(x) dx},[/mm] also lösen mit TdV:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{2y} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1-x^2} dx}[/mm]
> Löse:
> [mm]\bruch{1}{2}*ln|2y|[/mm] + [mm]c_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2x}* ln|1-x^2|[/mm] +
> [mm]c_{2}[/mm] mit [mm]c_{2}-c_{1}[/mm] = [mm]c_{3}[/mm]
Das 2 te Integral ist falsch! Mach ne Partialbruchzerlegung um zu integrieren
das 1. te Integral ist besser [mm] 1/2*ln(y)=ln\wurzel{y}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
ok aber a) ist soweit richtig oder? du schreibst sobald ich durch (1+x) teile muss x [mm] \not= [/mm] -1 sein. aber ich unter suche doch den fall x > 1 und da ist ja die .1 nicht drin...
Gruß david
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Hallo David,
> ok aber a) ist soweit richtig oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") du schreibst sobald ich
> durch (1+x) teile muss x [mm]\not=[/mm] -1 sein. aber ich unter
> suche doch den fall x > 1 und da ist ja die .1 nicht
> drin...
Ja, stimmt, bleibt das Integral rechterhand zu lösen.
PS: Ich meine beim Überfliegen gemerkt zu haben, dass du einen VZF hast.
Als du in der Dgl den Term [mm]2y/(1-x)[/mm] auf die rechte Seite gebracht hast, muss dort doch [mm]\red{-}2y/(1-x)[/mm] stehen
Es müsste sich also [mm]\int{\frac{1}{2y} \ dy} \ = \ \int{\frac{1}{x^2-1} \ dx}[/mm] ergeben ...
Aber gucke da selber nochmal nach, ich bin auf dem Sprung und direkt off.
Gruß
schachuzipus
> Gruß david
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:39 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
Ok habe jetzt eine PBZ gemacht und dann steht da folgendes nach der Integration:
1/2 * ln|2y|=ln|2x-2|-ln|2x+2| jetzt kann man das Logarithmen-Gesetz anwenden und 2 ausklammern (die kürzt sich dann im Zähler und Nenner raus) und dann steht da:
1/2 * [mm] ln|2y|=ln|\bruch{x-1}{x+1}|+c_{3} [/mm] mit [mm] c_{3}=c_{2}-c_{1}
[/mm]
und nochmal umgeformt:
[mm] ln|\wurzel{2y}|=ln|\bruch{x-1}{x+1}|+c_{3}
[/mm]
so jetz wird alles e hoch genommen und es steht da:
[mm] |\wurzel{2y}| [/mm] = [mm] c_{4}* |\bruch{x-1}{x+1}| [/mm] mit [mm] c_{4}=e^{c_{3}} [/mm] > 0
ok soweit, so gut...der rechte term ist ja immer > 0 da wir ja den fall x > 1 untersuchen....wie eliminieren wir jetzt den Betrag, weil wir dürfen ja keine negativen Lösungen zulassen...
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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