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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösung der Aufgabe
Lösung der Aufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösung der Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Di 11.03.2008
Autor: Ilias

Aufgabe
Bestimmen sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblem und das größte INtervall, auf dem die Lösung definiert ist:
[mm] u^{'}(t)+u(t)=e^{3t} [/mm] ;u(0)=0

Also ich hab die Aufgabe wie folgt gerechnet, da ich in unserem Skript folgenden Satz gefunden habe:
[mm] u^{'}(t)+p(t)u(t)=q(t) [/mm]  

somit kann ich wie folgt die DGL lösen:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-P(t)+P(t0)}+e^{-P(t)}*\integral_{t0}^{t}{e^{P(s)}*q(s) ds} [/mm]

Schritt 1:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-t}+e^{-t}*\integral_{0}^{t}{e^{s}*e^{3s} ds} [/mm]

Schritt 2:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-t}+e^{-t}*\integral_{0}^{t}{e^{4s} ds} [/mm]

Schritt3:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-t}+e^{-t}*(e^{4t}/4-1/4) [/mm]

Schritt 4:
[mm] u(t)=u_{0}*e^{-t}+e^{3t}/4-(e^{-t}/4) [/mm]

ist zwar ne blöde frage, aber wie soll ich jetzt genau weitermachen?

man hat mir gesagt, das man diese Aufgabe auch mittels dem integrierenden Faktor lösen kann. Könnt ihr mir vieleicht sagen, wann ich den oberen Satz oder den integrierenden faktor verwenden sollte? Wann wäre was geschickter...ok vielen dank

Gruß Ilias

        
Bezug
Lösung der Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Di 11.03.2008
Autor: maddhe

hi!
die Lösung der DGL scheint mir nicht ganz richtig...
ich versuchs mal:
[mm] u'(t)=-u(t)+e^{3t} [/mm]
1. schritt: man betrachte die homogene Gleichung u(t)=-u(t) [mm] \Rightarrow u(t)=e^{-t}c [/mm]
2. schritt: Variation der Konstanten: [mm] u(t)=e^{-t}c(t) [/mm] (0)
[mm] \Rightarrow u'(t)=-e^{-t}c(t)+e^{-t}c'(t) [/mm] (1)
In der gegebenen DGL steht [mm] u'(t)=-u(t)+e^{3t} [/mm] und mit der Substitution am Anfang dieses Schrittes: [mm] u'(t)=-e^{-t}c(t)+e^{3t} [/mm] (2)
3. schritt: (1) und (2) gleichsetzen liefert: [mm] -e^{-t}c(t)+e^{-t}c'(t)=-e^{-t}c(t)+e^{3t} \gdw e^{-t}c'(t)=e^{3t} \gdw c'(t)=e^{4t} \gdw c(t)=\integral_{0}^{t}{e^{4s}ds}+u_0 \gdw c(t)=\bruch{1}{4}e^{4t}+u_0 [/mm]
4. schritt: einsetzen in (0) liefert [mm] u(t)=u_0e^{-t}+\bruch{1}{4}e^{3t} [/mm]
5. schritt (anfangswertproblem: bestimme [mm] u_0 [/mm] so, dass u(0)=0):
[mm] u(0)=u_0e^{0}+\bruch{1}{4}e^{0}=u_0+\bruch{1}{4}=0 \gdw u_0=-\bruch{1}{4} [/mm]

fertige Funktion ist also: [mm] u(t)=-\bruch{1}{4}e^{-t}+\bruch{1}{4}e^{3t} [/mm]

Bezug
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