Lösung DGL-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Di 09.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
[mm] y'=\pmat{ -1 & -4 \\ -3 & -2 }*y
[/mm]
Bestimme die allg. Lösung und skizziere die Trajektorien.
Aufgabe 2:
DGL System:
[mm] m'=\pmat{ -1/10 & 1/30 \\ 1/10 & -1/30 }*(m1,m2)
[/mm]
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Frage zu Aufgabe 1:
Habe schon die ganze Zeit ein Problem:
Ich könnte hier jetzt über Eigenwerte und Eigenvektoren die allg. Lösung erzeugen. Dann soll ich aber die Trajektorien skizzieren, also eliminiere ich wieder t zur Trajektoriensuche? Muss ich beides machen? Ne, oder?
ich erhalte hier
u'(x)= [mm] (-1-4u)/(-3-u+4*u^2)
[/mm]
Frage zur Aufgabe 2:
auch hier habe ich wieder ein DGL System mit konstanten Koeff., dass ich über die Eigenwerte etc lösen kann.
Es ist aber ganz konkret die Frage nach m2 und m1. Das bekomme ich ja mit dieser Methode nicht heraus, oder?
Wie denn dann?
Ich hoffe, ich nerve nicht mit dem Theorie-Kram, aber ich MUSS das einfach mal verstehen 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> Frage zu Aufgabe 1:
> Habe schon die ganze Zeit ein Problem:
> Ich könnte hier jetzt über Eigenwerte und Eigenvektoren
> die allg. Lösung erzeugen.
Würd ich auch machen.
> Dann soll ich aber die
> Trajektorien skizzieren, also eliminiere ich wieder t zur
> Trajektoriensuche? Muss ich beides machen? Ne, oder?
Hier versteh ich nicht was du meinst. Du sollst einfach die Spuren der Integralkurven skizzieren. Wieso willst du t eliminieren?
> ich erhalte hier
> u'(x)= [mm](-1-4u)/(-3-u+4*u^2)[/mm]
Was ist das jetzt?
>
> Frage zur Aufgabe 2:
> auch hier habe ich wieder ein DGL System mit konstanten
> Koeff., dass ich über die Eigenwerte etc lösen kann.
> Es ist aber ganz konkret die Frage nach m2 und m1. Das
> bekomme ich ja mit dieser Methode nicht heraus, oder?
Selbstverständlich, y ist oben auch ein Vektor des [mm] \IR^2 [/mm] . Du kannst natürlich auch bezüglich der Standardbasis [mm] y=(y_1,y_2) [/mm] schreiben.
Du kannst dir das wie folgt versuchen klar zu machen: Wenn die Matrix bloß Diagonaleinträge hat, hast du sofort zwei unabhängige einfache Differentialgleichungen für die einzelnen beiden Komponenten, die du elementar integrieren kannst. Hat die Matrix nicht Diagonalgestalt so sind die beiden DGLen gekoppelt, und es geht nicht so einfach. Dann muss man sich eben über die Eigenverktoren usw. ein Fundamentalsystem basteln.
> Wie denn dann?
>
> Ich hoffe, ich nerve nicht mit dem Theorie-Kram, aber ich
> MUSS das einfach mal verstehen
>
>
Grüße,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hey, danke für deine Antwort. Leider ist es mir immer noch nicht so klar.
1) Sagen wir, ich löse über Eigenwerte, etc., erhalte also eine allg. Lösung y=...
Dann wähle ich für die Trajektorien x und y Werte, setzte die in die Lösung und in die DGL ein und skizziere. Ich habe hier einen weiteren Thread rein gestellt zum Thema "Phasendiagramme" zeichnen. Hätte ich die DGL (vllt. könntest du mal kurz darein schauen) auch über Eigenwerte lösen können und dann zeichnen? Da habe ich nämlich "t eliminiert".
2) Was mache ich in dem Fall, falls ich kein entkoppeltes DGL-System habe, aber trotzdem explizit für zb. m1 eine Lösung suche? Durch die Eigenwerte erhalte ich diese Lösung ja nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei manchen Kurven ist das eliminieren praktisch, wenn man dann die Kurve besser zeichnen kann.
wenn das aber zu umständlich ist, setzt man einfach nacheinander t Werte ein und zeichnet, oder man sucht sich im Netz nen Plotter der das kann.
kurven werdeen anders als auf der Schule in Mathe meist als parameterkurven gegeben. im [mm] R^3 [/mm] ist fast nichts anderes gut möglich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Danke für deine Antwort.
Also heißt das auf jeden Fall, dass ich nicht immer diese Geschichte mit dem "t eleminieren" mache.
Aber ich weiß leider immer noch nicht, wie ich ein DGL mit konstanten Koeff. löse, wenn ich explizit ein Glied wissen will: siehe meine Aufgabe, ich möchte m2 erhalten. Dann kann ich das Verfahren mit Eigenwerten ja vergessen. was gibt es denn noch für Möglichkeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Doch, wenn du dein Fundamentalsystem hast, hast du eine Basis des Lösungsraums (genau das bedeutet ja Fundamentalsystem). Dann kannst du jede Integralkurve als Linearkombination in dieser Basis asdrücken. In diesem Fall ist der Lösungsraum ein 2-dim [mm] \IR-Vektorraum.
[/mm]
Die Integralkurven haben die Form
[mm] \vektor{y_1 \\ y_2} = c_1 exp(\lambda_1 t)\vektor{v_1 \\ v_2}+c_2 exp(\lambda_2 t)\vektor{w_1 \\ w_2} [/mm]
Wobei v und w die Eigenvektoren und die [mm] \lambda_i [/mm] die Eigenwerte der Matrix sind. Die Konstanten werden durch die Anfangswerte festgelegt.
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hi, danke für deine Antwort. Sorry, dass ich hier so rum nerve, aber ich vesteh es einfach nicht (vllt. zu viel darüber nachgedacht )
Jetzt mal ganz konkret, dann klappt es vllt. besser:
Aufgabe 2:
DGL System:
[mm] x'=\pmat{ 1/10 & -1/30 \\ 1/10 & 1/30 }*'(x1, [/mm] x2)
ein System mit konstanten Koeff., ich möchte die Lösung für x2 haben. Das geht doch nicht über die EW?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Doch das geht. D.h. wenn die Eigenvektoren nicht linear unabhängig sind, muss man über die Hauptvektoren gehen, um das Fundamentalsystem zu konstruieren.
Aber ihr müsst doch dazu Sätze in der Vorlesung gehabt haben?
Ein äquivalentes Vorgehen, wäre das folgende: Hat die Matrix zwei linear unabhängige Eigenvektoren ist sie diagonalisierbar. In diesem Fall kann man das Differentialgleichungssystem auch sofort durch eine Transformation entkoppeln. (dies ist aber umständlich, da man schließlich weiß wie die Lösungskurven aussehen).
Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht genau was dein Problem ist. Schreib bitte mal deine Lösung d.h. das Fundamentalsystem für die Aufgabe hier rein, dann kann ich dir konkreter helfen.
Gruß,
Doing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:29 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Hey, ja ich denke auch, das wird das beste sein, wenn ich mal einen konkreten Fall poste. Melde mich ggf. morgen noch einmal, falls ich das Problem nicht in der Griff bekomme
Vielen Dank und eine gute Nacht!
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