"Lösen von Gleichungssystemen" < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Do 28.04.2005 | | Autor: | julch07 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich glaube nicht, dass mir jemand noch so schnell helfen kann, weil ich morgen eine aufgabe vortragen muss, deren lösung ich nicht kenne:
ich habe 3 Gleichungen gegeben:
x-y+z=1
2x+y+3z=4
x+3y+az=b
meine frage lautet jetzt, wie a und b aussehen müssen, damit es eine, keine oder unenetlich viele lösungen gibt. ich habe ähnliche aufgaben gefunden, aber, x,y,und z irritieren mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Do 28.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> ich habe 3 Gleichungen gegeben:
> x-y+z=1
> 2x+y+3z=4
> x+3y+az=b
> meine frage lautet jetzt, wie a und b aussehen müssen,
> damit es eine, keine oder unenetlich viele lösungen gibt.
> ich habe ähnliche aufgaben gefunden, aber, x,y,und z
> irritieren mich.
Du musst versuchen, die drei Gleichungen wie ein ganz normales Gleichungssystem zu behandeln: x, y, und z sind die gesuchten Unbekannten und a und b nur Parameter.
Stell dir vor, a und b sind ganz normale Zahlen (du kennst sie nur einfach nicht). Dann könntest du ja das Gleichungssystem lösen. Entweder hast du keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen.
Dasselbe funktioniert auch allgemein. Versuche mal wie immer an das Problem heranzugehen. Wenn du dann z.B. Zeilenstufenform erzeugt hast, kannst du vielleicht erkennen, wie du a und b wählen mußt, um z.B. genau eine Lösung zu bekommen.
Kommst du so schon weiter?
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Fr 29.04.2005 | | Autor: | julch07 |
um ehrlich zu sein nicht. die idee hatte ich ja irgendwo schon, aber jetzt habe ich in der dritten zeile stehen
0+0+a*(-7)*z=13b
ich glaube ja nicht, dass das bis hierhin richtig ist, aber weiter komm ich trotzdem nicht.
um zum beispiel keine lösung zu erhalten, müsste a*(-7)*z ungleich 13b sein?!? aber so habe ich die aufgabe doch noch nicht bewältigt. oder soll das des rätsels lösung sein?
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Hallo!
Um deine Aufgabe zu lösen, würde ich die Cramer'sche Regel verwenden.
Hoffe, du kennst sie.
In dieser Schreibweise entfallen erstmal die Variablen x,y,z.
1 -1 1 1
2 1 3 4
1 3 a b
Als nächstes bilde ich die Determinante, die später zur Bestimmung von x,y,z verwendet wird:
Dies sieht wie folgt aus:
D= [mm] \vmat{ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & a } [/mm]
= a -3 +6 -1 -9 +2a
= 3a -7
Das selbe nun für die Derterminanten Dx, Dy, Dz:
Dx= [mm] \vmat{ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \\ b & 3 & a } [/mm]
= a -3b +12 -b -9 +4a
= 5a -4b +3
Dy= [mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & b & a } [/mm]
= 4a +3 +2b -4 -3b -2a
= 2a -b -1
Dz= [mm] \vmat{ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & b } [/mm]
= b -4 +6 -1 -12 +2b
= 3b -11
Nun kannst du x,y und z mit den Determinanten berechnen, weil x = Dx/D, Y = Dy/D, Z=Dz/D.
=>
x= [mm] \bruch {Dx} {D} [/mm]= [mm]\bruch {5a -4b +3} {3a -7} [/mm]
y= [mm] \bruch {Dy} {D} [/mm]= [mm]\bruch {2a -b -1} {3a -7} [/mm]
z= [mm] \bruch {Dz} {D} [/mm]= [mm]\bruch {3b -11} {3a -7} [/mm]
Nun zu deiner Fallunterscheidung:
Damit es keine Lösung gibt ist, wird der Nenner gleich Null gesetzt:
3a - 7 = 0 <=>
a = [mm]\bruch {7}{3}[/mm]
Damit es nur eine Lösung gibt, müssen a UND b gleich Null sein:
x = [mm]\bruch {-3}{7}[/mm]
y = [mm]\bruch {1}{7}[/mm]
z = [mm]\bruch {11}{7}[/mm]
Wenn nur ein Wert, d.h. a oder b, gegeben ist, ist die Lösung unendlich, weil es jeweils von der anderen Variable abhängt.
Ich hoffe, du kennst die Cramer'sche Regel und ich konnte dir helfen, wenn nicht:
Determinanten bildet man durch das Addieren der Diagonalenwerte (d.h. der Werte, die mulipliziert werden) von rechts oben nach links unten und das Subtrahieren der Diagonalenwerte von links unten nach rechts oben!
Viel Erfolg heute beim Vortragen! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Isi
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