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| Aufgabe | Gegeben sind f und g durch f(x)=0,5x² + 2 und g(x)= x²-2x+2.
Für welchen Wert [mm] x\in [/mm] [0;4] wird die Summe (die Differenz) der Funktionswerte extremal?
Um welche Art von Extremum handelt es sich? Geben sie das Extremum an. |
Zu dieser Aufgabe habe ich mehrere Fragen:
Ich schreibe morgen eine Klausur aber habe leider bei dieser Lehrerin nichts verstanden undkann so diese Aufgabe ersteinmal grundsätzlich nicht lösen...wie mache ich das?
Und was heißt extremal? Sind das die Extremstellen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Mi 18.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin daniel,
ja genau extremal, dabei wird das x gesucht, bei dem die Funktion den kleinsten oder größten Wert annimmt. man könnte auch fragen, für welches x wird eine funktion minimal bzw. maximal.
> Gegeben sind f und g durch f(x)=0,5x² + 2 und g(x)=
> x²-2x+2.
> Für welchen Wert [mm]x\in[/mm] [0;4] wird die Summe (die Differenz)
> der Funktionswerte extremal?
> Um welche Art von Extremum handelt es sich? Geben sie das
> Extremum an.
> Zu dieser Aufgabe habe ich mehrere Fragen:
> Ich schreibe morgen eine Klausur aber habe leider bei
> dieser Lehrerin nichts verstanden undkann so diese Aufgabe
> ersteinmal grundsätzlich nicht lösen...wie mache ich das?
> Und was heißt extremal? Sind das die Extremstellen?
>
> Danke
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
bei extremwertaufgaben musst du zunächst deine zielfunktion aufstellen und für diese zielfunktion dann die Hoch- bzw. Tiefpunkte bestimmen.
machen wir mal zusammen
aufgabe 1a)
Frage: Für welchen Wert wird die Summe von f+g extremal
> Gegeben sind f und g durch f(x)=0,5x² + 2 und g(x)=
> x²-2x+2.
> Für welchen Wert [mm]x\in[/mm] [0;4] wird die Summe (die Differenz)
> der Funktionswerte extremal?
[mm] Z(x)=0,5x^2 [/mm] +2 + [mm] x^2 [/mm] -2x + 2
[mm] Z(x)=1,5x^2 [/mm] -2x +4
notwendige bedingung
Extremstellen können nur an den Stellen vorliegen, an denen die 1. Ableitung der Funktion =0 ist (waagerechte tangenten).
also: ich bilde die ersten beiden ableitungen meiner zielfunktion.
Z'(x)=3x-2
Z''(x)=3
0=3x-2 => x= [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
plus hinreichende bedingung
[mm] Z'(\bruch{2}{3})=0 [/mm] und gleichzeitig [mm] Z''(\bruch{2}{3}) [/mm] >0
=> Minimum bzw. TP [mm] (\bruch{2}{3} [/mm] / [mm] Z(\bruch{2}{3}))
[/mm]
hier relativ einfach, da es nur einen wert für x gibt, bei dem die 1. Ableitung null ist.
aufgabe 1b) Differenz von f und g
Zielfunktion aufstellen ; ggf. Nebenbedingungen beachten!!
[mm] Z(x)=0,5x^2 [/mm] +2 -( [mm] x^2 [/mm] -2x + 2)
[mm] Z(x)=-0,5x^2 [/mm] +2x
dann wieder 1. Ableitung bilden und die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen... nur an diesen stellen können überhaupt extremwerte vorliegen.
Z'(x)=-x +2
0=-x + 2 => x=2
zusätzlich muss noch die hinreichende bedingung für extremwerte erfüllt sein, dazu setze ich die gefundenen nullstellen der 1. ableitung in die 2. ableitung ein:
Z''(x)=-1
Z''(2)=-1 d.h. Z''(2)<0 => Maximum bzw. HP (2 / Z(2))
oki.
viel glück!
gruss
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Mi 18.10.2006 | | Autor: | regenkind |
Hallo wolfgang
ich danke dir für deine ausführliche lösung der aufgabe, ich denke ich habe es jetzt verstanden....
nochmals vielen danke
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