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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 So 29.05.2005 | | Autor: | bennym |
Hallo!
Folgende DLG soll gelöst werden:
[Externes Bild http://mitglied.lycos.de/stoeplsel/1.gif]
In der Schule hieß es man kann dies ganz einfach mit einer 3-Schritt-Formel lösen, nämlich
[Externes Bild http://mitglied.lycos.de/stoeplsel/2.gif]
Also fange ich an:
[Externes Bild http://mitglied.lycos.de/stoeplsel/3.gif]
Allerdings komm ich hier nicht weiter das Integral zu berechnen. Habe es mit Substitution und partieller Integration versucht. Wer weiß die Lösung?
Im Lösungsbuch wird das ganze anders gehandhabt, nämlich so:
[Externes Bild http://mitglied.lycos.de/stoeplsel/4.gif]
Bis hierher ist mir noch alles klar, aber das folgende verstehe ich nicht ganz:
[Externes Bild http://mitglied.lycos.de/stoeplsel/5.gif]
Ich bin jetzt total verwirrt...was geschieht hier denn? Bitte um Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 So 29.05.2005 | | Autor: | bennym |
Das mit den Bildern klappt hier wohl nicht so wirklich :(
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hi, bennym,
Nun: Auch im Lösungsvorschlag wird für die spezielle Lösung [mm] y_{s} [/mm] derselbe Ansatz verwendet, den auch Ihr in der Schule verwendet habt.
Hauptunterschied: Während Ihr Euch im "3-Schritt-Verfahren" die "Formel" für c(x),
also: c(x) = [mm] \integral{\bruch{s(x)}{y_{H}}dx} [/mm]
[mm] (y_{H} [/mm] mit c=1)
einfach "merken" sollt,
wird im Verfahren des Lehrbuchs der Ansatz für [mm] y_{s} [/mm] sowie die Ableitung [mm] y_{s}' [/mm] in die Differentialgleichung eingesetzt und anschließend so lange umgeformt, bis dieselbe Formel rauskommt.
Warum das? Nun: Wenn sich einer die Formel für c(x) nicht merken kann, soll er trotzdem eine Möglichkeit haben, zum Ziel zu kommen!
Übrigens: In diesem Beispiel zeigt sich, dass die von Euch benutzte Methode der "Variation der Konstanten" nicht immer die beste ist.
Merk' Dir:
Wenn in der DGL y' + g(x)*y = s(x)
zufälligerweise s(x) ein KONSTANTES VIELFACHES von g(x) ist, also:
s(x) = k*g(x),
so kann man als spezielle Lösung [mm] y_{s} [/mm] IMMER Folgendes verwenden:
[mm] y_{s} [/mm] = k.
Bei Deinem Beispiel ist s(x) = [mm] \bruch{9}{4}*g(x),
[/mm]
weshalb ja auch - nach ellenlanger Rechnung - bei diesem Beispiel
[mm] y_{s} [/mm] = [mm] \bruch{9}{4} [/mm] rauskommt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 So 29.05.2005 | | Autor: | bennym |
Der Tipp mit der Konstanten ist schonmal ein guter Hinweis für mich was als Lösung rauskommen müsste. Allerdings gibts wahrscheinlich nur Punkte auf den Rechenweg :(
Wie wäre denn die Lösung für das Integral bei dem ich hängengeblieben bin bzw. wie ist der Ansatz um das zu berechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo bennym!
Welches Integral meinst Du denn?
Dieses? [mm] $\integral_{}^{} {\bruch{9}{x^2+1} * e^{4*\arctan(x)} \ dx}$
[/mm]
Hier kommst Du mit folgender Substitution weiter:
$t \ := \ [mm] 4*\arctan(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $t' \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ 4 * [mm] \bruch{1}{1+x^2}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\left(1+x^2\right) [/mm] \ dt$
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 29.05.2005 | | Autor: | bennym |
Hallo!
Wenn ich so das Integral berechne komme ich auf folgendes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe da wohl wieder was falsch gemacht beim letzten Schritt oder wie integriere ich das [mm] e^u? [/mm] Es soll ja nur 9/4 rauskommen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo bennym!
Die Stammfunktion für die e-Funktion lautet:
[mm] $\integral_{}^{} {e^z \ dz} [/mm] \ = \ [mm] e^z [/mm] + C$
Da entsteht also kein zusätzlicher Faktor wie in Deiner Lösung mit dem [mm] $\bruch{1}{u}$.
[/mm]
Bitte auch etwas sorgfältiger Klammern setzen beim Aufschreiben!
Zum Beispiel:
[mm] $9*\integral_{}^{} {\bruch{1}{x^2+1} * e^u * \bruch{du}{4} * \red{(}x^2+1\red{)}} [/mm] \ = \ ...$
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 29.05.2005 | | Autor: | bennym |
Hallo nochmal!
Ich hab mir schon fast gedacht dass es an dem 1/u liegt, aber muss ich denn nicht beim Ableiten der e-Funktion den Exponent nachdifferenzieren? Also (e^4arctanx)' = e^4arctanx * [mm] 4/(x^2+1)? [/mm] Dann müsste ich doch beim Integrieren ebenfalls darauf achten?! Ich bin in Mathe keine Leuchte also entschuldigt meine Unwissenheit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo bennym!
> aber muss ich denn nicht beim Ableiten der e-Funktion den
> Exponent nachdifferenzieren? Also (e^4arctanx)' =
> e^4arctanx * [mm]4/(x^2+1)?[/mm] Dann müsste ich doch beim
> Integrieren ebenfalls darauf achten?!
Nein! In dem Fall ist unsere zu integrierenden Variable (die Integrationsvariable) ja unser u.
Die "Problematik" mit dem Nachfifferenzieren haben wir ja bereits in dem Moment erledigt, wo wir auch das dx durch du ersetzt haben. Da haben wir ja eingesetzt:
$dx \ = \ [mm] \bruch{du}{4}*(1+x^2)$
[/mm]
Genau da steckt ja unser $u'$ drin.
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 So 29.05.2005 | | Autor: | bennym |
OK dann ist alles klar. Danke
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Hi, bennym,
Loddar hat Dir ja erklärt, wie Du das Integral lösen kannst.
Aber nun zu Deinem Einwand:
> Der Tipp mit der Konstanten ist schonmal ein guter Hinweis
> für mich was als Lösung rauskommen müsste. Allerdings gibts
> wahrscheinlich nur Punkte auf den Rechenweg :(
Das kommt auf die Aufgabenstellung an!
Wenn die Aufgabe natürlich lautet:
"Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender DGL mit Hilfe der Variation der Konstanten ..."
bzw. "... mit Hilfe der Methode von Lagrange ...",
dann musst Du die Aufgabe "ausführlich" lösen!
Wenn Dir die Lösungsmethode jedoch freigestellt ist, dann kannst Du meinen Ansatz ruhig verwenden! Du musst Deine Lösung nur durch Einsetzen begründen!
In Deinem Fall etwa so:
[mm] y=\bruch{9}{4} [/mm] ist spezielle Lösung der DGL
y' + [mm] \bruch{4}{x^{2}+1}*y [/mm] = [mm] \bruch{9}{x^{2}+1}, [/mm] da:
y [mm] =\bruch{9}{4} [/mm] und y' = 0 eingesetzt:
0 + [mm] \bruch{4}{x^{2}+1}*\bruch{9}{4} [/mm] = [mm] \bruch{9}{x^{2}+1}
[/mm]
eine WAHRE AUSSAGE ergibt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 So 29.05.2005 | | Autor: | bennym |
Alles klar, falls es nur um den Beweis geht könnte ich die Herleitung nutzen. Allerdings war bisher in jedem Abitur verlang die Variation der Konstanten zu verwenden...also komme ich um den Rechenweg nicht herum. Aber wie gesagt ist es für mich schonmal ne große Hilfe zu wissen was rauskommen müsste.
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