Lösen von DGL´s < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL:
a) [mm] \frac{dy}{dx}=2xy^2 [/mm] für y>0
b) [mm] \frac{dy}{dx}=e^x
[/mm]
c) [mm] x^2*\frac{dy}{dx}=y^2 [/mm] für y,x>0 |
Ich bin gerad am Üben für die bevorstehenden Klausuren, könnte mal bitte jeman drüber schauen:
a)
[mm] \frac{dy}{dx}=2xy^2 [/mm] |*dx , [mm] :y^2
[/mm]
[mm] \frac{dy}{y^2}=2x [/mm] dx | [mm] \integral
[/mm]
[mm] \frac{1}{y^2}=x^2+C [/mm] |Kehrwert bilden
[mm] y^2=\frac{1}{2x+C} [/mm] | [mm] \wurzel
[/mm]
y = [mm] \wurzel{\frac{1}{2x+C}} [/mm] <- Stimmt diese Lösung?
------------------------------------------------------------------------------
b)
[mm] \frac{dx}{dy} =e^x [/mm] |*dx
dy = [mm] e^x [/mm] dx [mm] |\integral [/mm] <- So und hier habe ich nun ein Problem:
Also das Integral von [mm] e^x [/mm] ist ja [mm] e^x, [/mm] aber was ist das Integral von dy?
Hier weis ich nicht wie ich weiter machen soll
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
a)
> $ [mm] \frac{1}{y^2}=x^2+C [/mm] $ ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") |Kehrwert bilden
$ [mm] \int{\frac{1}{y^2} \ dy} [/mm] $ musst du nochmal nachrechnen!
Da hast du recht, ich kann ja [mm] \frac{1}{y^2} [/mm] auch als [mm] y^{-2} [/mm] schreiben davon ist die Ableitung natürlich [mm] -y^{-1} [/mm] oder auch [mm] -\frac{1}{y}.
[/mm]
Ok weiter im Kontext:
[mm] \frac{1}{-y} [/mm] = [mm] x^2+C [/mm] | Kehrwert
-y = [mm] \frac{1}{x^2}+C [/mm] |*-1
y = [mm] -\frac{1}{x^2}+C [/mm] <- Lösung
Zu b)
ich hatte nicht in betracht gezogen das ich für [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] auch einfach y' schreiben kann, dadurch ist es in der Tat sofort offensichtlich das y = [mm] e^x [/mm] sein muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
> Da hast du recht, ich kann ja [mm]\frac{1}{y^2}[/mm] auch als [mm]y^{-2}[/mm]
> schreiben davon ist die Ableitung natürlich [mm]-y^{-1}[/mm] oder
> auch [mm]-\frac{1}{y}.[/mm]
Nein, davon die Stammfunktion ;)
Du hast richtig gerechnet, wobei die Konstante streng genommen auch in den Nenner gehört.
Gruß Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Mhh so hab die c) nun auch gerechnet:
$ [mm] x^2\cdot{}\frac{dy}{dx}=y^2 [/mm] $ für y,x>0 [mm] |:x^2;*dx;:x^2
[/mm]
[mm]\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2} \gdw \frac{1}{y^2}*dy = \frac{1}{x^2}*dx [/mm] [mm] |\integral
[/mm]
[mm]\frac{1}{-y+C}=\frac{1}{-x+C}[/mm] |Kehrwert bilden
[mm]-y+C = -x+C[/mm] | -C
-y = -x [mm] \gdw [/mm] y = x
Stimmt das, dass y = x ist ??
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> Mhh so hab die c) nun auch gerechnet:
>
> [mm]x^2\cdot{}\frac{dy}{dx}=y^2[/mm] für y,x>0 [mm]|:x^2;*dx;:x^2[/mm]
>
> [mm]\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2} \gdw \frac{1}{y^2}*dy = \frac{1}{x^2}*dx [/mm]
> [mm]|\integral[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{-y+C}=\frac{1}{-x+C}[/mm] |Kehrwert bilden
das stimmt doch schon nicht
du hast [mm] -1/y+c_1=-1/x+c_2 [/mm] und diese integrationskonstanten lassen sich nun zu C zusammenfassen
>
> [mm]-y+C = -x+C[/mm] | -C
> -y = -x [mm]\gdw[/mm] y = x
>
> Stimmt das, dass y = x ist ??
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Vertax |
Ok also habe ich :
[mm]\frac{1}{-y}+C_1 = \frac{1}{-x}+C_2 [/mm] [mm] |-C_1
[/mm]
[mm]\frac{1}{-y} = \frac{1}{-x}+C_2 -C_1 [/mm] [mm] |C_2-C_1 [/mm] zu C zusammenfassen
[mm]\frac{1}{-y} = \frac{1}{-x}+C[/mm]
So und wenn ich jetzt den Kehrwert bilde erhalte ich:
[mm]-y = -x + \frac{1}{C} [/mm] |*-1
[mm]y = x-\frac{1}{C}[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ok also habe ich :
>
> [mm]\frac{1}{-y}+C_1 = \frac{1}{-x}+C_2[/mm] [mm]|-C_1[/mm]
> [mm]\frac{1}{-y} = \frac{1}{-x}+C_2 -C_1[/mm] [mm]|C_2-C_1[/mm] zu C
> zusammenfassen
> [mm]\frac{1}{-y} = \frac{1}{-x}+C[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also zukünfig direkt nur rechterhand eine Integrationskonstante vergeben
>
> So und wenn ich jetzt den Kehrwert bilde erhalte ich:
> [mm]-y = -x + \frac{1}{C}[/mm]
Uiuiui, wie war das mit der Bruchrechnung?
Mache mal besser zunächst gleichnamig!
[mm]-\frac{1}{y}=\frac{Cx-1}{x}[/mm]
Also [mm]y=\frac{x}{1-Cx}[/mm] bzw. mit passender Konstante [mm]\tilde C=-C[/mm]
[mm]y=\frac{x}{1+\tilde Cx}[/mm]
> |*-1
> [mm]y = x-\frac{1}{C}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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