Lösen eines Gleichungssystems? < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:18 Mi 21.12.2005 | | Autor: | Akat |
| Aufgabe | Für beliebige Werte von λ besitzt das lineare Gleichungssystem Ax = λx mit
der Matrix
A =1 2 3
2 -4 -2
3 2 1
die triviale Lösung x=0. Für welche Werte von
λ besitzt das Gleichungssystem nichttriviale Lösungen?
Man gebe die allgemeine Lösung des Gleichungssystems für den größten
λ-Wert an. |
So, und nun meine Frage, da ich nicht mehr weiter weiß bei dieser schwierigen Aufgabe. Mein Ansatz lautet wie folgt:
Zuerst habe ich mir ein Gleichungssystem aufgestellt mit der Annahme wie es in der aufgabe im 1.Satz steht. AX = λX
meine Gleichungen sahen dann so aus:
[mm] x_{11} [/mm] + [mm] 2x_{21} [/mm] + [mm] 3x_{31} [/mm] = [mm] \lambda x_{11}
[/mm]
[mm] 2x_{11} [/mm] - [mm] 4x_{21} [/mm] - [mm] 2x_{31} [/mm] = [mm] \lambda x_{21}
[/mm]
.
.
.
Jetzt habe ich jeweils die gleichungen durch [mm] X_{11} [/mm] bzw. [mm] x_{21}.....geteilt
[/mm]
und das so entstande gleichungssystem aufgelöst. Am ende bekam ich dann für jedes x einen Wert heraus, in dem das λ steckt. Nur bin ich jetzt mit meinem latein am ende. ich weiß nicht wie den hinweis, dass für bestimmte λ x = 0 gilt in meine herausbekommenen x werte verarbeiten soll. Wenn ich das Matrixprodukt AX = 0 setzte, komme ich nicht auf das gewünschte ergebnis.
Daher meine Frage, ob man im Gaußschen Algorithmus (hab ich zur Lösung des GS angewendet) am ende irgendwas für λ definieren muss, damit man die aufgabe lösen kann.
MFG Akat
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Was in der Aufgabe gesucht ist sind die Eigenwerte
Ax = [mm] \lambda [/mm] x
Ax - [mm] \lambda [/mm] I x = 0
wobei I eine Einheitsmatrix ist (Trick  )
also folgt:
(A- [mm] \lambda [/mm] I)x = 0
A- [mm] \lambda [/mm] I = 0
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & 2 \\ 3 & 2 & 1 }
[/mm]
folgt:
[mm] \pmat{ 1- \lambda& 2 & 3 \\ 2 & -4-\lambda & 2 \\ 3 & 2 & 1-\lambda } [/mm] = [mm] \pmat{ 0\\0\\0 }
[/mm]
in deinem Fall muss gelten Determinate = 0 dann ist Lösung nichttrivial
damit bekommst du die Lösungen für Lambda.
und dann das größte [mm] \lambda [/mm] nehmen und hier (A- [mm] \lambda [/mm] I)x = 0 einsetzen um x zu bekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mi 21.12.2005 | | Autor: | Akat |
Hey danke, Mathe kann ja so einfach sein, aber auf den Trick muss man erstmal kommen.
Vielen DAnk
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