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| Aufgabe | Gegeben sei das AWP
u'(t)=-2*t*u(t), u(-1)=1
Entwicklen sie die Lösung des AWPs in eine Taylor-Reihe 3. Ordnung, d.h. der vernachlässigte Restterm sol von der der Ordnung [mm] h^{4} [/mm] sein |
Hallo,
ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen und möchte euch nun fragen, ob ich alles richtig gemacht habe:
[mm] u''(t)=-2*u(t)+4*t^{2}*u(t)
[/mm]
[mm] u'''(t)=12*t*u(t)-8*t^{3}*u(t)
[/mm]
Daraus folgt: [mm] u(t)=1+2*h+h^{2}-\bruch{2}{3}*h^{3}, [/mm] mit h=t+1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Sa 18.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei das AWP
> u'(t)=-2*t*u(t), u(-1)=1
> Entwicklen sie die Lösung des AWPs in eine Taylor-Reihe 3.
> Ordnung, d.h. der vernachlässigte Restterm sol von der der
> Ordnung [mm]h^{4}[/mm] sein
> Hallo,
> ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen und möchte
> euch nun fragen, ob ich alles richtig gemacht habe:
> [mm]u''(t)=-2*u(t)+4*t^{2}*u(t)[/mm]
> [mm]u'''(t)=12*t*u(t)-8*t^{3}*u(t)[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]u(t)=1+2*h+h^{2}-\bruch{2}{3}*h^{3},[/mm] mit
> h=t+1
Hallo,
dein Ansatz bleibt mir etwas schleierhaft (liegt allerdings daran, dass ich mich nicht sonderlich in dieser Materie auskenne).
Allerdings kenne ich eine Funktion, deren 1. Ableitung das -2t-fache von sich selbst ist:
[mm] u(t)=e^{-t^2}
[/mm]
Gleiches gilt allgemein für
[mm] u(t)=k*e^{-t^2}.
[/mm]
Wenn nun u(-1)=1 gelten soll ist k=e.
Überprüfe doch einfach mal, ob dein Ansatz tatsächlich eine Taylorentwicklung für [mm] u(t)=e*e^{-t^2}=e^{1-t^2} [/mm] liefert.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Sa 18.04.2009 | | Autor: | HAWRaptor |
Hallo,
ich habe die Ansätze aus dem Numerik-Skript:
u'(t)=f(t,u(t)) (gegeben)
[mm] u''(t)=f_{t}-f_{u}*u'(t)=:F, [/mm] mit [mm] f_{t}:=\bruch{d}{dt}*f
[/mm]
[mm] u'''(t)=(f_{tt}+2*f_{tu}*f+f_{uu}*f^{2})+F*f_{u}=:G+F*f_{u}
[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] u(t_{o}+h)=u+f*h+F*\bruch{h^{2}}{2}+(G+F*f_{u})*\bruch{h^{3}}{6}, [/mm] mit [mm] h:=t-t_{0}
[/mm]
Alle Funktionen sind an der Stelle [mm] (t,u)=t_{o},u_{0} [/mm] auszuwerten
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