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Hallo,
ich versuche gerade Eigenfrequenzen eines Biegebalkens nach Timoshenko zu berechnen. Dummerweise muss ich dazu eine gewöhnliche lineare DGL 4. Ordnung lösen und an die geforderten Randbedingungen anpassen und dies bereitet mir einiges Kopfzerbrechen. Ich brauche keine allgemeine Lösung, sondern mir reicht eine spezielle Lösung, die die Randbedingungen erfüllt. Ich kenne für andere Randbedingungen bereits eine spezielle Lösung.
Die DGL lautet:
[mm] \bruch{d^4 W}{dx^4} + \kappa^4 i^2 (1+ \alpha) \bruch{d^2 W}{dx^2} - \kappa (1 - \kappa^4 i^4 \alpha) W = 0 [/mm]
Die Randbedingungen sind
[mm] \bruch{d^2 W(0)}{dx^2}=\bruch{d^3 W(0)}{dx^3}=0 [/mm]
und
[mm] \bruch{d^2 W(l)}{dx^2}=\bruch{d^3 W(l)}{dx^3}=0 [/mm]
Dies sollte einem Balken mit beidseitig freien Enden entsprechen. (Querkraft und Moment sind an den Balkenenden 0.)
Für einen beidseitig gelenkig gelagerten Balken habe ich bereits eine Ansatzfunktion. Hier lauten die Randbedingungen:
[mm] \bruch{W(0)}{dx}=\bruch{d^2 W(0)}{dx^2}=0 [/mm] und [mm] \bruch{d W(l)}{dx}=\bruch{d^2 W(l)}{dx^2}=0 [/mm]
Diese werden erfüllt von der Funktion [mm] W_k(x) = B_k sin\bruch{k \pi x}{l}, k = 1,2,... [/mm]
Setze ich diese in die DGL ein, kann ich abhägig von k nach [mm]\kappa[/mm] auflösen und so die Eigenwerte ermitteln. Gleiches will ich nun auch für den Balken mit freien Enden, doch leider finde ich keine geeignete Ansatzfunktion, die die DGL löst und deren zweite und dritte Ableitungen zwei gleiche Nullstellen haben.
Ich habe auch schon versucht mit Wolframalpha auf eine allgemeine Lösung zu kommen. Dazu habe ich die Vorfaktoren der DGL zusammengefasst, so dass sie lautet:
[mm] \bruch{d^4y(x)}{dx^4}+a*\bruch{d^2y(x)}{dx^2}-b*y(x)=0 [/mm]
Davon gibt wolframalpha folgendes als Lösung aus:
[mm] y(x) = c_1 e^\bruch{x \wurzel{-\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} + c_2 e^\bruch{-x \wurzel{-\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} + c_3 e^\bruch{x \wurzel{\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} + c_4 e^\bruch{-x \wurzel{\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}}[/mm]
Dies kann man meiner Meinung nach mit [mm] cosh(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2} [/mm] zu zwei cosh-Termen umformen. Wahrscheinlich müsste man das dann Ableiten und die Randbedingungen einsetzen, um auf die Konstanten a und b zu kommen. Allerdings erscheint mir dies ziemlich kompliziert und ich bin mir gar nicht mehr sicher, ob das alles so noch richtig ist. Auch weiß ich gar nicht, ob ich das abgeleitet bekomme. Daher würde mich interessieren, ob mir jemand weiterhelfen kann? Ich hatte gehofft die Eigenfrequenzen für die freien Enden wären nicht groß schwerer als die mit den gelenkig gelagerten Enden.
Vielen Dank schon mal für alle Hilfe!
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Hallo,
Ich nehme an dass $ [mm] \kappa^4 i^2 [/mm] (1+ [mm] \alpha)$ [/mm] und [mm] $\kappa [/mm] (1 - [mm] \kappa^4 i^4 \alpha)$ [/mm] Konstanten sind.
Versuche es mit dem Exponentialansatz:
$ [mm] W(x)=e^{\lambda{}x} [/mm] $, setze ein und teile die Gleichung durch [mm] $e^{\lambda{}x}$
[/mm]
Ich habe das nicht nachgerechnet aber es müsste funktionieren.
Gruß helicopter
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Hallo helicopter,
erstmal vielen Dank für die schnelle Rückmeldung! Bezüglich der Konstanten hast du recht. Vom Prinzip her handelt es sich bei der DGL um folgende Gleichung:
$ [mm] \bruch{d^4y(x)}{dx^4}+a\cdot{}\bruch{d^2y(x)}{dx^2}-b\cdot{}y(x)=0 [/mm] $
Deinen Ansatz hab ich jetzt mal ausprobiert und siehe da, ich komme genau auf das Ergebnis, was wolframalpha.com auch ausgespuckt hat ;)
$ y(x) = [mm] c_1 e^\bruch{x \wurzel{-\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] c_2 e^\bruch{-x \wurzel{-\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] c_3 e^\bruch{x \wurzel{\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} [/mm] + [mm] c_4 e^\bruch{-x \wurzel{\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} [/mm] $
Sehe ich es richtig, dass ich diese Gleichung ableiten und die entsprechenden Randbedingungen einsetzen muss um die Konstanten herauszubekommen?
Meine Randbedingungen wären ja
$ [mm] \bruch{d^2 W(0)}{dx^2}=\bruch{d^3 W(0)}{dx^3}=0 [/mm] $
und
$ [mm] \bruch{d^2 W(l)}{dx^2}=\bruch{d^3 W(l)}{dx^3}=0 [/mm] $
Eine spezielle Lösung für einen Satz Randbedingungen kenne ich ja bereits. Vielleicht kann ich mit der allgemeinen Lösung zuerst versuchen auf diese zu kommen.
Ich weiß ja, dass die Randbedingungen:
$ [mm] \bruch{W(0)}{dx}=\bruch{d^2 W(0)}{dx^2}=0 [/mm] $ und $ [mm] \bruch{d W(l)}{dx}=\bruch{d^2 W(l)}{dx^2}=0 [/mm] $ zu der Lösung $ [mm] W_k(x) [/mm] = [mm] B_k sin\bruch{k \pi x}{l}, [/mm] k = 1,2,... $ führen.
Vielleicht kann mir jemand erklären, wie man das hinbekommt, dann bekomme ich eventuell meine Randbedingungen ja selber hin?
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> Hallo helicopter,
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> erstmal vielen Dank für die schnelle Rückmeldung!
> Bezüglich der Konstanten hast du recht. Vom Prinzip her
> handelt es sich bei der DGL um folgende Gleichung:
>
> [mm]\bruch{d^4y(x)}{dx^4}+a\cdot{}\bruch{d^2y(x)}{dx^2}-b\cdot{}y(x)=0[/mm]
>
> Deinen Ansatz hab ich jetzt mal ausprobiert und siehe da,
> ich komme genau auf das Ergebnis, was wolframalpha.com auch
> ausgespuckt hat ;)
>
> [mm]y(x) = c_1 e^\bruch{x \wurzel{-\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} + c_2 e^\bruch{-x \wurzel{-\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} + c_3 e^\bruch{x \wurzel{\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}} + c_4 e^\bruch{-x \wurzel{\wurzel{a^2+4 b}-a}}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Sehe ich es richtig, dass ich diese Gleichung ableiten und
> die entsprechenden Randbedingungen einsetzen muss um die
> Konstanten herauszubekommen?
Ja, du erhältst 4 Gleichungen mit denen du die 4 unbekannten bestimmen kannst.
> Meine Randbedingungen wären ja
> [mm]\bruch{d^2 W(0)}{dx^2}=\bruch{d^3 W(0)}{dx^3}=0[/mm]
> und
> [mm]\bruch{d^2 W(l)}{dx^2}=\bruch{d^3 W(l)}{dx^3}=0[/mm]
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> Eine spezielle Lösung für einen Satz Randbedingungen
> kenne ich ja bereits. Vielleicht kann ich mit der
> allgemeinen Lösung zuerst versuchen auf diese zu kommen.
>
> Ich weiß ja, dass die Randbedingungen:
> [mm]\bruch{W(0)}{dx}=\bruch{d^2 W(0)}{dx^2}=0[/mm] und [mm]\bruch{d W(l)}{dx}=\bruch{d^2 W(l)}{dx^2}=0[/mm]
> zu der Lösung [mm]W_k(x) = B_k sin\bruch{k \pi x}{l}, k = 1,2,...[/mm]
> führen.
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> Vielleicht kann mir jemand erklären, wie man das
> hinbekommt, dann bekomme ich eventuell meine
> Randbedingungen ja selber hin?
Ich habe es jetzt nicht nachgerechnet aber ich vermute dass einfach benutzt wurde dass [mm] $e^{i\phi}=\cos\phi{}+i\sin\phi$ [/mm] benutzt wurde.
Probier es Mal aus und setze deine Randbedingungen ein.
Gruß helicopter
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