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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösbarkeitseigenschaften
Lösbarkeitseigenschaften < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Lösbarkeitseigenschaften: Parameter
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Mo 10.12.2007
Autor: Kampfkruemel

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob das Gleichungssystem lösbar ist und ob es eine eindeutige Lösung hat.

[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 4
[mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + 4 [mm] x_3 [/mm] = 1
[mm] 5x_1 [/mm] - [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 3

So, ich bin nun soweit dass ich in der letzten Zeile 4 Nullen (also 0+0+0=0) stehen hab ... nun muss ich ja mit Parametern weiterrechnen... habe ich so gemacht:

Gleichung II:
[mm] x_1 [/mm] - [mm] 5x_3 [/mm] = 2   [mm] |+5x_2 [/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] 5x_3+2 [/mm]

in  Gleichung I:
[mm] 3(5x_3+2) [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 4    [mm] |+2x_2 [/mm] / -4
[mm] 3(5x_3+2) [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] - 4 = [mm] 2x_2 [/mm]
[mm] 15x_3 [/mm] + 6 + [mm] 3x_3 [/mm] - 4 = [mm] 2x_2 [/mm]
[mm] 18x_3 [/mm] + 2 = [mm] 2x_2 [/mm]    |:2
[mm] 9x_3 [/mm] + 1 = [mm] x_2 [/mm]

So, nun muss ich ja theoretisch einen Parameter für [mm] x_3 [/mm] setzen ... nur woher weiss ich, welchen ich da am Besten nehme?

Vielen Dank und Gruß
Sarah

        
Bezug
Lösbarkeitseigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Mo 10.12.2007
Autor: angela.h.b.


> Untersuchen Sie, ob das Gleichungssystem lösbar ist und ob
> es eine eindeutige Lösung hat.
>  
> [mm]3x_1[/mm] - [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 4
>  [mm]x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + 4 [mm]x_3[/mm] = 1
>  [mm]5x_1[/mm] - [mm]3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 3
>  So, ich bin nun soweit dass ich in der letzten Zeile 4
> Nullen (also 0+0+0=0) stehen hab ... nun muss ich ja mit
> Parametern weiterrechnen... habe ich so gemacht:
>  
> Gleichung II:
> [mm]x_1[/mm] - [mm]5x_3[/mm] = 2   [mm]|+5x_2[/mm]
>  [mm]x_1[/mm] = [mm]5x_3+2[/mm]
>  
> in  Gleichung I:
>  [mm]3(5x_3+2)[/mm] - [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 4    [mm]|+2x_2[/mm] / -4
>  [mm]3(5x_3+2)[/mm] + [mm]3x_3[/mm] - 4 = [mm]2x_2[/mm]
>  [mm]15x_3[/mm] + 6 + [mm]3x_3[/mm] - 4 = [mm]2x_2[/mm]
>  [mm]18x_3[/mm] + 2 = [mm]2x_2[/mm]    |:2
>  [mm]9x_3[/mm] + 1 = [mm]x_2[/mm]
>  
> So, nun muss ich ja theoretisch einen Parameter für [mm]x_3[/mm]
> setzen ... nur woher weiss ich, welchen ich da am Besten
> nehme?

Hallo,

irgendeinen.

Sag, [mm] x_3 =\lambda [/mm]

Dann ist [mm] x_2= [/mm] ...

und [mm] x_1= [/mm] ...

dh. [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}= [/mm] ...

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Lösbarkeitseigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Mo 10.12.2007
Autor: Kampfkruemel

Okay, also dann habe ich jetzt mal [mm] x_3 [/mm] = 3t gesetzt

[mm] x_1 [/mm] = 5 * 3t + 2
[mm] x_1 [/mm] = 15t + 2

[mm] x_2 [/mm] = 9 * 3t + 1
[mm] x_2 [/mm] = 27t + 1

Richtig?

Bezug
                        
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Lösbarkeitseigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Mo 10.12.2007
Autor: Zwerglein

Hi, Kampfkruemel,

> Okay, also dann habe ich jetzt mal [mm]x_3[/mm] = 3t gesetzt
>  
> [mm]x_1[/mm] = 5 * 3t + 2
> [mm]x_1[/mm] = 15t + 2
>  
> [mm]x_2[/mm] = 9 * 3t + 1
>  [mm]x_2[/mm] = 27t + 1
>  
> Richtig?

Ich versteh' nicht, wieso Du das alles machst!
Die Aufgabe hieß doch:
"Untersuchen Sie, ob das Gleichungssystem lösbar ist, und ob es eine eindeutige Lösung hat."
Die Antwort lautet: "Ja, es ist lösbar, aber es hat KEINE eindeutige Lösung."
Aus die Maus!
Es ist nirgends die Rede davon, dass Du die Lösungsmenge des Gleichungssystems ausrechnen sollst!

mfG!
Zwerglein

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Lösbarkeitseigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:15 Mo 10.12.2007
Autor: Kampfkruemel

Ich mache das Ganze, da ich am Mittwoch eine Klausur schreibe und die Berechnung mit Parametern noch nicht kann und üben will. Leider finden sich in meinem buch nur wenig Aufgaben, so dass ich einfach diese zum üben gewählt habe.

Bezug
                        
Bezug
Lösbarkeitseigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Mo 10.12.2007
Autor: angela.h.b.


> Okay, also dann habe ich jetzt mal [mm]x_3[/mm] = 3t gesetzt

Warum ausgerechnet 3t???
Na, egal - falsch ist's nicht.

>  
> [mm]x_1[/mm] = 5 * 3t + 2
> [mm]x_1[/mm] = 15t + 2
>  
> [mm]x_2[/mm] = 9 * 3t + 1
>  [mm]x_2[/mm] = 27t + 1
>  
> Richtig?

Ja, vorausgesetzt, Du hattest Dein Gleichungssystem ohne  Rechenfehler bearbeitet, das hatte ich nicht geprüft.

Die Lösungen haben dann die Gestalt [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{2 \\ 1\\0}+t*\vektor{15 \\ 27\\3}, [/mm]
also ist der Lösungsraum eine Gerade.

Gruß v. Angela

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Lösbarkeitseigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Mo 10.12.2007
Autor: Kampfkruemel

Den Buchstaben t haben wir in der Schule immer als Parameter benutzt, daher habe ich ihn auch bei dieser Aufgabe gewählt. Warum 3 ... naja, du hast gesagt der Parameter ist frei wählbar ... und da habe ich einfach die Zahl 3 genommen, da sie  relativ niedrig ist.

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