Lösbarkeit lineare Kongruenzen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 07.02.2017 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Lineare Kongruenz
a * x [mm] \equiv [/mm] b (mod n)
Angeblich ist der ggT(a, n) gleich die maximale Anzahl von Lösungen für die lineare Kongruenz. |
Hallo,
beim lösen einer beliebigen linearen Kongruenz haben wir gelernt, dass der ggT(a,n) gleichzeitig die Anzahl an Lösungen ist, die es für die lineare Kongruenz gibt.
Bei dem Beispiel 91 * x [mm] \equiv [/mm] 231 (mod 329) bekommt man für den ggT(91, 329) = 7 heraus und laut Vorlesung soll es dafür dann maximal 7 Lösungen geben, nämlich 17, 64, 111, 158, 205, 252 und 299.
Tatsächlich ist die lineare Kongruenz jedoch immer erfüllt, solange man immer 47 auf eines der Ergebnisse der Lösungen aufaddiert. Also z.B. 299 + 47 = 346. Und 91 * 346 [mm] \equiv [/mm] 231 (mod 329) ist erfüllt!
Wurde das falsch erklärt, oder hat der ggT(a,n) wirklich irgendeine Bedeutung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Di 07.02.2017 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist eine Lineare Kongruenz
> a * x [mm]\equiv[/mm] b (mod n)
>
> Angeblich ist der ggT(a, n) gleich die maximale Anzahl von
> Lösungen für die lineare Kongruenz.
> Hallo,
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> beim lösen einer beliebigen linearen Kongruenz haben wir
> gelernt, dass der ggT(a,n) gleichzeitig die Anzahl an
> Lösungen ist, die es für die lineare Kongruenz gibt.
>
> Bei dem Beispiel 91 * x [mm]\equiv[/mm] 231 (mod 329) bekommt man
> für den ggT(91, 329) = 7 heraus und laut Vorlesung soll es
> dafür dann maximal 7 Lösungen geben, nämlich 17, 64,
> 111, 158, 205, 252 und 299.
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> Tatsächlich ist die lineare Kongruenz jedoch immer
> erfüllt, solange man immer 47 auf eines der Ergebnisse der
> Lösungen aufaddiert. Also z.B. 299 + 47 = 346. Und 91 *
> 346 [mm]\equiv[/mm] 231 (mod 329) ist erfüllt!
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> Wurde das falsch erklärt, oder hat der ggT(a,n) wirklich
> irgendeine Bedeutung?
Hallo,
selbstverständlich hat eine lineare Kongruenz (wenn sie denn Lösungen hat) unendlich viele Lösungen.
Wenn im Vorlesungsbeispiel von 7 Lösungen die Rede ist, dann sind damit wohl 7 mögliche Restklassen mod 329 gemeint.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Mi 08.02.2017 | | Autor: | magics |
Hallo abakus, leider verstehe ich das nicht - irgendwo mach ich einen Denkfehler. Das Modul 5 hat doch fünf verschiedene Restklassen, nämlich [mm] {\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}}. [/mm] 329 hätte damit 329 verschiedene Restklassen, also [mm] {\overline{0}, \overline{1}, ... , \overline{327}, \overline{328}}. [/mm] Woher also die 7?
Im folgenden rechne ich die Aufgabe nochmal vor - bis zu dem Punkt, an dem es bei mir aussetzt. Ich hoffe du kannst mir nochmal einen Hinweis dazu geben.
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Zu lösen ist die lineare Kongruenz $91 * x [mm] \equiv [/mm] 231 (mod 329)$
(1) Euklidischer Algorithmus
$ 329 = 3 * 91 + 56 $
$ 91 = 1 * 56 + 35 $
$ 56 = 1 * 35 + 21 $
$ 35 = 1 * 21 + 14 $
$ 21 = 1 * 14 + 7 $
$ 14 = 2 * 7 + 0 $
Damit ist der $ggT(329, 91) = 7$. $231/7 = 33$, also ist ggT(a,n)|b erfüllt und die Gleichung ist lösbar. Gleichzeitig gibt der ggT von 7 an, dass es genau 7 Lösungen gibt.
(2) Erweiterten Euklidischen Algorithmus. Ich schreibe jetzt direkt das Endergebnis hin:
$7 = 5 * 329 - 18 * 91$
Wir teilen die Ausgangskongruenz $91 * x [mm] \equiv [/mm] 231 (mod 329)$ durch 7 und erhalten:
$13 * x [mm] \equiv [/mm] 33 (mod 47)$
(3) Nach x Auflösen. Wir suchen das Inverse von $13 (mod 47)$. Dazu wird jetzt sozusagen "ein Trick" angewendet. Wir teilen die obige Vielfachsummendarstellung $7 = 5 * 329 - 18 * 91$ durch 7 und kommen so auf die Form $1 = t*a + s*n$:
$1 = 5 * 47 - 18 * 13$
Wir erhalten: [mm] 13^{-1} \equiv [/mm] -18 [mm] \equiv [/mm] 29 (mod 47)
Das Inverse von 13, also die 29, setzen wir nun in die eben umgestellte Gleichung ein:
$x [mm] \equiv 13^{-1} [/mm] * 33 [mm] \equiv [/mm] 17 (mod 47)$
--- bis hier hin ist alles klar ---
Wie kommt man nun zu der Aussage, dass die 7 gesuchten Lösungen genau 17, 64, 111, 158, 205, 252, 299 sind?
liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mi 08.02.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine 299+47 ist doch in der Restklasse 17. ,299+2*47 in der Restklasse 64 usw.
d.h. die Lösungen sind immer die kleinsten Repräsentanten der Restklasse oder in Zahlen, mit 17 ist auch 329+17 natürlich Lösung. aber 17=346mod 329
Gruß leduart
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