Lösbarkeit Vektorprodukt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Mo 18.12.2006 | | Autor: | thisby |
| Aufgabe | Die Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b}\in\IR^{3} [/mm] seien lin. un., also [mm] \vec{a}\times\vec{b}=0.
[/mm]
Für welche wahl der rechten Seite [mm] \vec{d}\in\IR^{3} [/mm] ist die Vektorgleichung für [mm] \vec{v}
[/mm]
[mm] (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{v}=\vec{d}
[/mm]
lösbar? Gib alle derartigen Vektoren [mm] \vec{d} [/mm] in der Form
[mm] \vec{d}=d_{1}*\vec{a}+d_{2}*\vec{b}+d_{3}*(\vec{a}\times\vec{b}) [/mm]
an. |
Kann mir hier jemand weiterhelfen?
Ich habe keine Ahnung wie das gehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mo 18.12.2006 | | Autor: | riwe |
hallo und irgendwie!
1) das ist sicher: wenn [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind, ist [mm] \vec{a}\times\vec{b}\not=\vec{o}
[/mm]
2) das ist nun nicht ganz so sicher, aber ich hoffe/ denke/ vermute, dass es stimmt:
der durch [mm] (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{v} [/mm] erzeugte vektor liegt (wieder) in der durch [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannten ebene, er läßt sich also so darstellen:
[mm] \vec{d}=d_1\cdot\vec{a}+d_2\cdot\vec{b}+0\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
[/mm]
und mit der grassmann-identität bekommst du - wenn der vektor [mm] \vec{v} [/mm] gegeben ist:
[mm] d_1=-\vec{a}\cdot\vec{v} [/mm] und [mm] d_2=\vec{b}\cdot\vec{v}
[/mm]
aber bitte nicht kreuzigen.
und wenn es nicht stimmen sollte, hilft uns sicher ein(e) gute(r) aus der patsche.
als beispiel: [mm] \vec{a}=\vektor{1\\2\\3},\vec{b}=\vektor{2\\-7\\1},\vec{a}=\vektor{3\\0\\-4}
[/mm]
ergibt [mm] \vec{d}=-2\vec{a}-9\vec{b}[/mm]
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