Lösbarkeit LGS mit 3 Reihen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Do 21.10.2010 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | Für welche Werte des Parameters a besitzt das LGS
a) keine Lösung
b) unendlich viele Lösungen
c) genau eine Lösung? |
Hi,
es ist ein lineares Gleichungssystem nach folgendem Schema gegeben:
x1 + x2 + x3 = 1
2x1+3x2 + ax3 = 2
....
(ingesamt also 3 zeilen, die Werte sind hier frei ausgedacht)
Nun weiß ich, dass es die Determinante Null ist, es keine Lösung gibt. Doch wann gibt es genau eine Lösung und wann unendlich viele?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 21.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn die Determinante Null ist, ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar, so dass die beiden Fälle "unendlich viele Lösungen" und "keine Lösung" abzuprüfen sind.
Ist die Determinante dagegen nicht Null, gibt es eine eindeutige Lösung für [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}, [/mm] die aber vom Parameter a abhängig sein kann.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 21.10.2010 | | Autor: | krueemel |
okay, vielen Dank.
Angenommen die Determinante ist Null, wann gibt es dann eine, und wann unendlich viele Lösungen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Do 21.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> okay, vielen Dank.
> Angenommen die Determinante ist Null, wann gibt es dann
> eine, und wann unendlich viele Lösungen?!
Wenn die Determinante Null ist, kann es nicht mehr genau eine Lösung geben.
Für unendlich viele Lösungen schau dir mal den Rang der Koeffizientenmatrix an. Was kannst du darüber denn sagen? Was passiert, wenn der Rang in deinem Fall nicht 3 ist? Was bedeutet das dann auf die "Gleichungsebene" übertragen?
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:49 Do 21.10.2010 | | Autor: | krueemel |
Ich weiß folgendes:
Ist der Rang r = n (Anzahl der Spaltenvektoren) dann sind die Vektoren linear unabhängig.
Ist r < n, linear abhängig
heißt das, wenn r = n habe ich genau eine Lösung, wenn nicht, unendlich viele?
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> Für welche Werte des Parameters a besitzt das LGS
> a) keine Lösung
> b) unendlich viele Lösungen
> c) genau eine Lösung?
> Hi,
> es ist ein lineares Gleichungssystem nach folgendem Schema
> gegeben:
> x1 + x2 + x3 = 1
> 2x1+3x2 + ax3 = 2
> ....
> (ingesamt also 3 zeilen, die Werte sind hier frei
> ausgedacht)
Hallo,
ich frage mich, warum Du nicht ein gescheites Beispiel postest ohne ...
Dann wüßte man, worüber hier geredet werden soll.
Hier soll wohl über ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen geredet werden.
>
> Nun weiß ich, dass es die Determinante Null ist, es keine
> Lösung gibt.
Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix =0 ist, dann gibt es entweder keine oder viele Lösungen.
Keine Lösung gibt es, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix und der der erweiterten Koeffizientnematrix verschieden sind,
viele Lösungen gibt es, wenn die Ränge gleich sind.
> Doch wann gibt es genau eine Lösung
Genau eine Lösung gibt es, wenn die Koeffizientenmatrix vollen Rang hat, bei einer [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix also den Rang 3.
(Das ist der Fall, wenn die Det. der Koeffizientenmatrix [mm] \not=0 [/mm] ist)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Do 21.10.2010 | | Autor: | krueemel |
alles klar. Vielen Dank!
Im Prinzip ist es dann ja logisch, fällt eine Zeile weg, so ist der Rang ja kleiner als Zeilenanzahl und es gibt unendlich viele Lösungen. Ist der Rang gleich so ist ja sozusagen alles definiert und es gibt eine eindeutige Lösung.
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