Lösbarkeit Gleichungssysteme < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | Geben Sie an, welche der folgenden Gleichungssysteme [mm] A_{i}\*\vec{x}=\vec{b}_{i}, [/mm] i=1,2,3 lösbar sind.
(i) [mm] A_{1}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 }, \vec{b}_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
(ii) [mm] A_{2}=\pmat{ 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ -1 & 1 }, \vec{b}_{2}=\vektor{3 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
(iii) [mm] A_{3}=\pmat{ 1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & \pi & 5 }, \vec{b}_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe und bin mir nicht ganz sicher, ob ich weiterkomme. Bei wikipedia habe ich folgendes gefunden:
Dabei ist das lineare Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Entspricht der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix auch noch der Anzahl der Unbekannten, so besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung.
Bei einem quadratischen Gleichungssystem gibt die Determinante Auskunft über die Lösbarkeit. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist. Ist der Wert jedoch gleich Null, hängt die Lösbarkeit von den Werten der Nebendeterminanten ab. Bei diesen wird jeweils eine Spalte der Koeffizientendeterminante durch die Spalte der rechten Seite (den Vektor b) ersetzt. Nur wenn alle Nebendeterminanten den Wert Null haben, hat das System unendlich viele Lösungen, ansonsten ist das Gleichungssystem unlösbar.
Das ist ja auch soweit erst mal ganz nett und sogar halbwegs verständlich  . Jetzt aber meine Fragen. Erst mal direkt zu dem Zitat:
Was bedeutet bei dem zweiten Teil (der mit der Determinante) "quadratische Matrix"? Ist das dann die Ursprungsmatrix oder schon die erweiterte (also mit dem Vektor b), die quadratisch sein muss? Denn falls ersteres der Fall ist, könnte ich doch zumindest die (i) nach dieser Regel lösen, denn da habe ich ja eine 3x3-Matrix.
Und dann zweite Frage zu dem Rang einer Matrix. Ich weiß, dass ich über elementare Spalten- und Zeilenumformungen soweit kommen muss, dass ich möglichst nur noch 1en und 0en da stehen habe. Das ist aber praktisch dann leider immer schwerer umzusetzen. Gibt's da irgendwelche "Regeln", an die man sich halten kann? Oder eine Stelle, an der man sieht, dass man fertig ist?
Ich habe bei dere (i) mal angefangen und kam dann für A auf
1 1 -1
0 3 -2
0 0 0
Dann wäre der Rang ja 2, aber ich weiß nicht, ob es da nicht noch irgendwie weitergeht?
Das Gleiche für die erweiterte Matrix, da habe ich jetzt stehen
1 1 -1 0
0 3 0 -1
0 0 2 0
Wäre ja dann Rang 3, aber auch da bin ich mir nicht so sicher, ob ich da wirklich schon fertig bin?
Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte und mir evtl. auch die Endergebnisse hinschreiben könnte (d. h. die Rangzahlen der Ursprungsmatrizen und der Erweiterung), damit ich das dann kontrollieren kann.
Vielen lieben Dank,
Katrin
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internet-Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Do 18.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Katrin
> Geben Sie an, welche der folgenden Gleichungssysteme
> [mm]A_{i}\*\vec{x}=\vec{b}_{i},[/mm] i=1,2,3 lösbar sind.
>
> (i) [mm]A_{1}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 }, \vec{b}_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> (ii) [mm]A_{2}=\pmat{ 1 & 1 \\ 3 & -1 \\ -1 & 1 }, \vec{b}_{2}=\vektor{3 \\ 1 \\ 2}[/mm]
>
> (iii) [mm]A_{3}=\pmat{ 1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & \pi & 5 }, \vec{b}_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
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> Hallo zusammen,
>
> ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe und bin
> mir nicht ganz sicher, ob ich weiterkomme. Bei wikipedia
> habe ich folgendes gefunden:
Warum entnimmst du das nicht deiner Vorlesung? hier ist Wikipedia zwar richtig, aber man sollt so was noch in "echten" Vorlesg. oder mathebüchern überprüfen!
> Dabei ist das lineare Gleichungssystem genau dann lösbar,
> wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der
> erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Entspricht der Rang
> der erweiterten Koeffizientenmatrix auch noch der Anzahl
> der Unbekannten, so besitzt das Gleichungssystem genau eine
> Lösung.
>
> Bei einem quadratischen Gleichungssystem gibt die
> Determinante Auskunft über die Lösbarkeit. Das
> Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der
> Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null
> ist. Ist der Wert jedoch gleich Null, hängt die Lösbarkeit
> von den Werten der Nebendeterminanten ab. Bei diesen wird
> jeweils eine Spalte der Koeffizientendeterminante durch die
> Spalte der rechten Seite (den Vektor b) ersetzt. Nur wenn
> alle Nebendeterminanten den Wert Null haben, hat das System
> unendlich viele Lösungen, ansonsten ist das
> Gleichungssystem unlösbar.
>
> Das ist ja auch soweit erst mal ganz nett und sogar
> halbwegs verständlich . Jetzt aber meine Fragen. Erst
> mal direkt zu dem Zitat:
> Was bedeutet bei dem zweiten Teil (der mit der
> Determinante) "quadratische Matrix"? Ist das dann die
> Ursprungsmatrix oder schon die erweiterte (also mit dem
> Vektor b), die quadratisch sein muss? Denn falls ersteres
> der Fall ist, könnte ich doch zumindest die (i) nach dieser
> Regel lösen, denn da habe ich ja eine 3x3-Matrix.
Es ist die urspr. Matrix gemeint, die Methode ist aber meist viel länglicher und unbequem. um Det. auszurechnen vereinfacht man nämlich auch besser erst.
> Und dann zweite Frage zu dem Rang einer Matrix. Ich weiß,
> dass ich über elementare Spalten- und Zeilenumformungen
> soweit kommen muss, dass ich möglichst nur noch 1en und 0en
> da stehen habe. Das ist aber praktisch dann leider immer
> schwerer umzusetzen. Gibt's da irgendwelche "Regeln", an
> die man sich halten kann? Oder eine Stelle, an der man
> sieht, dass man fertig ist?
Der sichere und beste Weg, (dabei bleibt auch der Wert der Determinante erhalten) ist immer so:
1.erste Z stehen lassen, zu allen folgenden Zeilen ein vielfaches der ersten addieren, so dass in der ersten Spalte 0 entsteht.
2. erste und 2. Z stehen lassen, zu allen folgenden ein Vielfaches der2.Z addieren, so dass dann in der 2. Spalte 0 stehen .
3. wie mit 1. und 2. Zeile jetzt mit dritter usw bis zur (n-1)ten bei n Zeilen.
Entweder bricht das Verfahren ab, weil man schon nach k<n-1 Schritten in allen folgenden Zeilen nur noch 0 hat, oder man hat eine echte obere Dreiecksmatrix. also Rang n
Was man dabei wirklich macht , man sucht, wieviel lin. unabh. Zeilenvektoren es gibt.
Wenn man es grundsätzlich immer so macht, geht nie was schief, wenn man irgendwelche Zeilen addiert und das Ergebnis in irgendne Zeile schreibt, bleibt z. Bsp. der Wert der Det. nicht gleich. Ausserdem kann man bei dem Verfahren den rechten Teil, also die erweiterte matrix gleich mitbehandeln, also nicht wie du wieder von vorn anfangen.
> Ich habe bei dere (i) mal angefangen und kam dann für A
> auf
> 1 1 -1
> 0 3 -2
> 0 0 0
> Dann wäre der Rang ja 2, aber ich weiß nicht, ob es da
> nicht noch irgendwie weitergeht?
Ist richtig, und es kann ja nicht weiter gehen!
mit meinem Verfahren kämst du auf:
1 1 1 0
0 -3 2 1
0 0 0 0
> Das Gleiche für die erweiterte Matrix, da habe ich jetzt
> stehen
> 1 1 -1 0
> 0 3 0 -1
> 0 0 2 0
> Wäre ja dann Rang 3, aber auch da bin ich mir nicht so
> sicher, ob ich da wirklich schon fertig bin?
Da hast du dich verrechnet, denn der linke Teil hat ja jetzt auch plötzlich Rang 3!
> Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte und mir evtl.
> auch die Endergebnisse hinschreiben könnte (d. h. die
Also beide Rang 2 und damit lösbar!
2. Matrix Rang 2 und Rang 3
Endstand:
1 1 3
0 -4 -8
0 0 1
3. Matrix brauchst du nix tun, da ja wegen des 0Vektors rechts die erweiterte Matrix immer denselben Rang hat!
hier interessiert höchstens ob es lösungen ausser der trivialen (alles0) gibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo,
erst mal vielen, vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Ich bin jetzt einen Riesen-Schritt weiter und habe die Aufgabe glaube ich im Sinne der Aufgabenstellung erst mal gelöst.
> Warum entnimmst du das nicht deiner Vorlesung? hier ist
> Wikipedia zwar richtig, aber man sollt so was noch in
> "echten" Vorlesg. oder mathebüchern überprüfen!
Ja, da stimme ich dir theoretisch schon zu. Allerdings haben wir erstens das Übungsblatt am Mittwoch bekommen, der Stoff zu dieser Aufgabe kam aber erst am Donnerstag in der Vorlesung dran. Und zweitens schreibt er meistens in der Vorlesung nur die Definitionen an die Tafel, mit denen ich im Allgemeinen sowieso nichts anfangen kann. Gut, in diesem Fall wäre es evtl. sogar gegangen, aber in vielen anderen Fällen bringen mir die Definitionen und Sätze aus der Vorlesung für die konkreten Aufgaben dann rein gar nichts. Deswegen muss ich mich immer woanders schlau machen.
So, dann habe ich aber noch mal eine inhaltliche Frage:
Die (ii) ist abgehakt, nicht lösbar.
Bei der (i): Ist es richtig, dass sie zwar lösbar ist, aber nicht eindeutig lösbar? Da der Rang ja kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten und nicht gleich?
Und bei der (iii) habe ich auch den Rang bestimmt, stimmt es, dass er 3 ist? Und das würde dann bedeuten, dass es auch nichttriviale Lösungen gibt, richtig?
Wäre super, wenn das noch mal jemand "abnicken" bzw. berichtigen könnte.
Viele Grüße,
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Fr 19.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Katrin
> So, dann habe ich aber noch mal eine inhaltliche Frage:
> Die (ii) ist abgehakt, nicht lösbar.
> Bei der (i): Ist es richtig, dass sie zwar lösbar ist,
> aber nicht eindeutig lösbar? Da der Rang ja kleiner ist als
> die Anzahl der Unbekannten und nicht gleich?
Richtig, aber warum probierst du das nicht einfach aus, das hilft das abstrakte zu verstehen und geht in 2 bis 3 einfachen Schritten!
> Und bei der (iii) habe ich auch den Rang bestimmt, stimmt
> es, dass er 3 ist? Und das würde dann bedeuten, dass es
> auch nichttriviale Lösungen gibt, richtig?
probiers auch hier aus! Wieviel Unbekannte?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hi,
> > Bei der (i): Ist es richtig, dass sie zwar lösbar ist,
> > aber nicht eindeutig lösbar? Da der Rang ja kleiner ist als
> > die Anzahl der Unbekannten und nicht gleich?
> Richtig, aber warum probierst du das nicht einfach aus,
> das hilft das abstrakte zu verstehen und geht in 2 bis 3
> einfachen Schritten!
OK, du hast recht. Ich habe es versucht und jetzt verstehe ich auch, was damit gemeint war! Danke.
> > Und bei der (iii) habe ich auch den Rang bestimmt, stimmt
> > es, dass er 3 ist? Und das würde dann bedeuten, dass es
> > auch nichttriviale Lösungen gibt, richtig?
> probiers auch hier aus! Wieviel Unbekannte?
4 Unbekannte... Dann würde nach meinem schlauen Buch folgen, dass es auch nichttriviale Lösungen gibt. Aber beim Ausprobieren komme ich trotzdem nur auf x=y=z=0. Wahrscheinlich kann ich nicht richtig ausprobieren...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Fr 19.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Katrin
> OK, du hast recht. Ich habe es versucht und jetzt verstehe
> ich auch, was damit gemeint war! Danke.
>
> > > Und bei der (iii) habe ich auch den Rang bestimmt, stimmt
> > > es, dass er 3 ist? Und das würde dann bedeuten, dass es
> > > auch nichttriviale Lösungen gibt, richtig?
> > probiers auch hier aus! Wieviel Unbekannte?
>
> 4 Unbekannte...
Nein! die Matrix hat doch nur 3 Spalten also 3 Unbekannte!
>Dann würde nach meinem schlauen Buch
> folgen, dass es auch nichttriviale Lösungen gibt. Aber beim
> Ausprobieren komme ich trotzdem nur auf x=y=z=0.
Hier hast du ja auch richtig nur 3 Unbekannte!
> Wahrscheinlich kann ich nicht richtig ausprobieren...
doch! du musst nur an dich glauben.
Der Lösungsvektor hat 4 Komp.
(Und natürlich gibt es Gleichungssysteme mit zu vielen Gleichungen!)
Wenn du es also hinschreibst hast du anfänglich 4 Gl. mit 3 UB.
Rang war 3, also nur die triviale Lösung. Rang 3 heisst doch 3 lin unabh Zeilen bzw. 3 lin unabh. Spaltenvektoren.
Und lin unabh. heisst?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Oh Mann, ja, ich schreibe x, y und z hin und dann was von vier Unbekannten. Das war irgendwie nicht besonders schlau, natürlich habe ich vier Zeilen, aber nur drei Unbekannte.
OK, dann erklärt das auch, wieso ich nur den Nullvektor rausbekommen habe .
Vielen Dank noch mal, sehr lieb von dir!
Grüße, Katrin
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