Lösbarkeit Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Sa 20.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Man diskutiere die Lösbarkeit des AWP
y'= [mm] \wurzel{y} [/mm] y(0)=0 x [mm] \ge [/mm] 0. |
Hallo,
bei solchen Aufgaben ist ja immer die Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung zu überprüfen.
Zunächst ist die Funktion f(x,y)= [mm] \wurzel{y} [/mm] ja stetig. Nun muss sie noch Lipschitz-stetig bzgl. der zweiten Komponente sein. Also |f(x,y)-f(x,z)| [mm] \le [/mm] L |y-z|.
Also: [mm] |\wurzel{y} [/mm] - [mm] \wurzel{z}| \le [/mm] L|y-z| Gilt dies nicht schon für L=1?
Wie kann ich hier weiter machen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 20.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Trikolon!
Die Wurzelfunktion ist nicht Lipschitz-stetig. Das kannst du
ganz einfach mit einem Widerspruch zeigen. Gib ein [mm] $L>0\$ [/mm] vor
und bastel dir einen passenden Widerspruch.
Tipp: [mm] $0\$. [/mm] 
Du kannst doch ohne Problem mit Trennung der Variablen zeigen,
dass unendlich viele Lösungen existieren.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Sa 20.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Aber um formal die Existenz zu beweisen genügt doch eine lokale Lipschitz Stetigkeit, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 20.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aber um formal die Existenz zu beweisen genügt doch eine
> lokale Lipschitz Stetigkeit, oder?
wofür ist denn eine lokale L-Bedingung gut ???
[mm] y_1(x):=0
[/mm]
und
[mm] y_2(x):=\bruch{1}{4}x^2
[/mm]
sind Lösungen des AWPs
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Sa 20.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ok, danke. Angenommen die Lösung wäre nicht so leicht zu bestimmen, wie könnte ich dann hier zeigen dass die Lösung nicht eindeutig ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 So 21.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke. Angenommen die Lösung wäre nicht so leicht zu
> bestimmen,
Die Lösung ist aber leicht zu bestimmen ?
> wie könnte ich dann hier zeigen dass die
> Lösung nicht eindeutig ist?
Hast Du zuviel Glühwein ? Ich habe Dir doch oben 2 Lösungen des AWPs angegeben. Sind die denn gleich ? Ne !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 21.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Hallo Fred,
vielleicht willst du mich auch nicht verstehen... Es geht darum, dass ich zeigen will, dass die Lösung einer DGL existiert und eindeutig ist - und zwar mit den entsprechenden Sätzen. Dass diese DGL leicht zu lösen ist und man anhand der Lösungen erkennt, dass die Lösung nicht eindeutig ist, ist völlig klar. Aber solche Aufgaben erwarten mich auch in der Klausur, wenn ich dann die Lösung ausrechne, erhalte ich 0 Punkte, weil ich die Aufgabenstellung nicht erfülle (z.B. Weisen Sie die Existenz und Eindeutigkeit nach...). Dieses Beispiel soll nur dazu dienen, dass die allgemeine Vorgehensweise verinnerlichen kann. Es gibt sicherlich auch DGL, deren Lösung nicht so leicht zu bestimmen sind, aber die Lipschitz-Stetigkeit mit vertretbarem Aufwand nachweisbar ist. Vielleicht hast du ja ein bessres Beispiel parat.
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~zampini/blattfinepost.pdf
Schau mal dort, Seite 4.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 So 21.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst eben die Lipschitzstetigkeit wirklich untersuchen, und was du im 1. post schriebst war einfach (L=1) falsch.
wenn f(y) differenzierbar ist, findest du ein L fals die Ableitung beschränkt ist, das ist bei [mm] \sqrt(y) [/mm] bei 0 nicht der Fall.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 21.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Also kann ich sagen, weil [mm] \wurzel{y} [/mm] in 0 nicht diffbar ist, existiert keine eindeutige Lösung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 So 21.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also kann ich sagen, weil [mm]\wurzel{y}[/mm] in 0 nicht diffbar
> ist, existiert keine eindeutige Lösung?
Nein. Du kannst sagen, dass das AWP m2 Lösungen hat. Somit ex. keine eindeutig bestimmte Lösung.
Die Antwort wird Dir wahrscheinlich nicht gefallen, aber eine andere gibt es nicht.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Mo 22.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielleicht willst du mich auch nicht verstehen...
Was soll das ??? Ich habe Dich nicht verstanden, das stimmt. Von nicht wollen, kann keine Rede sein !
Ich habe Dich nicht verstanden, weil Du Dich nicht klar ausdrückst und alle bisherigen Antworten nicht beherzigt hast.
> Es geht
> darum, dass ich zeigen will, dass die Lösung einer DGL
> existiert und eindeutig ist - und zwar mit den
> entsprechenden Sätzen. Dass diese DGL leicht zu lösen ist
> und man anhand der Lösungen erkennt, dass die Lösung
> nicht eindeutig ist, ist völlig klar. Aber solche Aufgaben
> erwarten mich auch in der Klausur, wenn ich dann die
> Lösung ausrechne, erhalte ich 0 Punkte, weil ich die
> Aufgabenstellung nicht erfülle (z.B. Weisen Sie die
> Existenz und Eindeutigkeit nach...). Dieses Beispiel soll
> nur dazu dienen, dass die allgemeine Vorgehensweise
> verinnerlichen kann. Es gibt sicherlich auch DGL, deren
> Lösung nicht so leicht zu bestimmen sind, aber die
> Lipschitz-Stetigkeit mit vertretbarem Aufwand nachweisbar
> ist. Vielleicht hast du ja ein bessres Beispiel parat.
Wir betrachten also das AWP
$y'= [mm] \wurzel{y} [/mm] $
$ y(0)=0$
$( x [mm] \ge [/mm] 0. )$
1. Mit Picard-Lindelöf kannst Du hier nix ausrichten (das hat die Acht Dir schon gesagt):
Nimm an, es gäbe ein L>0 mit [mm] $|\wurzel{y}-\wurzel{z}| \le [/mm] L*|y-z|$ für alle y,z [mm] \ge [/mm] 0.
Mit z=0 würde folgen: [mm] $\wurzel{y} \le [/mm] L*y$ für alle y [mm] \ge [/mm] 0. Wir dividieren durch [mm] \wurzel{y} [/mm] und bekommen:
$1 [mm] \le [/mm] L* [mm] \wurzel{y}$ [/mm] für alle y>0.
Nun lasse y [mm] \to [/mm] 0 gehen und Du bekommst: 1 [mm] \le [/mm] 0.
2. Der Existenzsatz von Peano zeigt: obiges AWP hat Lösungen.
3. Allerdings benötigt man ein solches Geschoss, wie den Peanoschen Satz nicht, um zu sehen, dass das AWP eine Lösung besitzt: ich denke , man "sieht", dass
y(x):=0
eine Lösung des AWPs ist.
4. Jetzt stellt sich die Frage: hat das AWP noch weitere Lösungen ? Auch dazu hat die Acht Dir etwas gesagt: Trennung der Veänderlichen ! Ich mach das mal für Dich.
Für y>0 haben wir:
[mm] $\bruch{dy}{\wurzel{y}}=1*dx$.
[/mm]
Integration liefert:
[mm] $2*\wurzel{y}=x+c$
[/mm]
oder
[mm] $4*y=(x+c)^2$
[/mm]
oder
[mm] $y(x)=\bruch{(x+c)^2}{4}$
[/mm]
Nun ist [mm] \wurzel{y(x)}=\bruch{|x+c|}{2} [/mm] und [mm] $y'(x)=\bruch{x+c}{2} [/mm] .
Dies zeigt: x+c [mm] \ge [/mm] 0.
Da wir oben unter der Vor. y>0 gerechnet haben, muss x+c>0 sein für alle x>0. Das geht aber nur, wenn [mm] c\ge [/mm] 0 ist.
Wir haben also bisher: ist y eine Lösung der DGL mit y(x)> 0 für alle x>0, so gilt mit einem c [mm] \ge [/mm] 0:
(*) [mm] $y(x)=\bruch{(x+c)^2}{4}$.
[/mm]
Jetzt sieht man auch im Nachhinein: die Funktion in (*) löst die DGL auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] . Bingo !
Alle Lösungen der DGL sehen also so aus:
[mm] y_c(x)=\bruch{(x+c)^2}{4} [/mm] (c [mm] \ge [/mm] 0)
und
y(x)=0.
Die letzte Lösung bekommt man nicht mit Trennung der Veränderlichen !
Wollen wir noch die Bedingung y(0)=0 erfüllen, so sehen wir: das AWP hat genau 2 Lösungen:
y(x)=0 und [mm] $y(x)=\bruch{x^2}{4}$.
[/mm]
Gruß FRED
>
> http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~zampini/blattfinepost.pdf
> Schau mal dort, Seite 4.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mo 29.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Vielen Dank für diese ausführliche Antwort, Fred.
Wir haben nun auf einem Blatt die Aufgabe bekommen, das AWP
[mm] y'=-(1/y)\wurzel{1-y^2}, [/mm] y(0)=1
auf Existenz und Eindeutigkeit zu untersuchen.
Hier liefert ja auch wieder der Satz von Peano, dass das AWP (mindestens) eine Lösung besitzt, da das AWP stetig ist als Verkettung stetiger Funktionen und y(0)=1 gilt.
Dann wurde uns Folgendes gesagt: da keine Lipschitz Bedingung vorliegt, können wir keine Eindeutigkeit erwarten.
Wie „sieht“ man denn diesem AWP an, dass es nicht Lipschitz stetig ist??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mi 31.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach dasselbe für y=1 was dir ffred bei dem anderen Problem vorgeführt hat. Fang damit an, die L-steigkeit bei y=1 hinzuschreiben,
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 01.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Also wenn ich die Lipschitz Beding nachrechne erhalte ich ja nach Anwendung der Dreiecksungleichung:
[mm] |1/y\wurzel{1-y^2}|+|1/z\wurzel{1-z^2}| \le [/mm] L|y-z|.
Wie kann ich dann weiter machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Do 01.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze wieder z=1 und dann wie im anderen ppst.
Ausserdem auch hier sieht man die Lösung y=1 für alle x und die Losung [mm] y=\pm\sqrt{c-x}
[/mm]
Gruß ledum
die Wurzelfkt ist an ihrer Nullstelle nie Lipschitzstetig.
Gruß ledum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Zunächst eine für mich wichtige Frage: Wie kommst du darauf z=1 zu betrachten? Nimmt man immer den Wert des AWP, also y(0)=1?
Für z=1 ist ja
[mm] 1/y\wurzel{1-y^2} \le [/mm] L|y|, wenn man jetzt auf beiden Seiten y-->0 gehen lässt, hat man ja einen Widerspruch.
Noch eine Frage: Gäbe es ein AWP [mm] y'=1/y\wurzel{1-y^2}, y(x_0)=y_0, [/mm] sodass das AWP eindeutig lösbar ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 So 04.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenigstens solange man nicht über y=0 oder y=1 kommt.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 So 04.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Wie erkennst du das? Und wie lautet die Antwort auf die erste Frage, die ich gestellt hatte? Über eine etwas ausführlichere Antwort wäre ich sehr froh. Danke im Voraus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 05.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich untersuche die Lipschitzstetigkeit für f(y)
Ergänzung:0< | [mm] y(x_0)|<=1 [/mm] sonst gibt es keine Lösung da y' nicht reell
die allgemeine Lösung für 0< | y|<1 kannst du ja leicht bestimmen aber die läft immer gegen y=1 und dann ist aus.
Gruß leduart
|
|
|
|
