Lösbar oder nicht? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Fr 03.10.2008 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus die Lösung(en) des folgenden linearen Gleichungssystems!
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 & 1\\ -2 & -4 & -3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 1}\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 5\\ -14 \\ 6 }
[/mm]
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Hier habe ich 3 Gleichungen und 4 Unbekannte. Also ist dieses Gleichungssystem nicht lösbar, oder gibt es da etwas was ich irgendwie verpasst habe und es geht doch? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Dass da mehr Variablen als Gleichungen sind, macht nichts :)
Du hast ja in der Schule z.B. auch 2 Ebenen gleichsetzen können. Da hatte man ja auch 3 Variablen (x, y, z) aber nur 2 Gleichungen. Gelöst hat man das, in dem man einer Variablen einen Parameter, eine unbestimmte, aber feste Zahl (z.B. t) zugeordnet.
Du könntest also z.B. [mm] x_4=t [/mm] setzen und dann das 3x3-LGS in Abhängigkeit von t lösen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 So 05.10.2008 | | Autor: | steem |
Ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe. Aber ich hab das jetzt einfach mal so gemacht wie ich es verstanden hab!
Ich habe mir aus diesem System
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 & 1\\ -2 & -4 & -3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 1}\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 5\\ -14 \\ 6 } [/mm]
folgende 3x3 Matrix rausgesucht
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 \\ -2 & -4 & -3 \\ 2 & 0 & 1 }
[/mm]
und diese in die Form
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 }
[/mm]
Gebracht. Jetzt habe ich ja vom Anfang noch was über, da ich nicht wusste was man damit macht, hab ich das einfach drangehängt und mein derzeitiger Stand sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 }\pmat{ 1t \\ -3t \\ 1t }=$ \pmat{ 5 \\ -14 \\ 6}
[/mm]
Irgendwie beschleicht mich das Gefühl, dass ich mich damit auf Abwegen befinde :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 So 05.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
Schreibe dir die erweiterte Matrix hin, also [mm]\pmat{ 1 & 3 & 5 & 1 & 5\\ -2 & -4 & -3 & -3 & -14 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & 6}[/mm], und jetzt forme diese ganze Matrix so um wie du es vorher gemacht hast, also das "der Anfang" eine [mm]3\times 3[/mm] Einheitsmatrix ergibt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 05.10.2008 | | Autor: | steem |
Nun sieht es so aus! Am Anfang nur 1sen hinzukriegen geht nicht ohne das man im Rest Brüche in Kauf nimmt. Ich weiß nun nicht, wie zwingend es ist, das am Anfang nur 1sen stehen?!
[mm] \pmat{ 7 & 0 & 0 & 12 & 55\\ 0 & 3 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -4}
[/mm]
Ist es überhaupt zulässig das ich jetzt z.B. die erste Zeile durch 7 teile und die anderen beiden durch 3 ?
Und wo soll denn jetzt die frei wählbare Variable hin?
Vielen Dank für eure Hilfe ;)
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Hallo steem,
> Nun sieht es so aus! Am Anfang nur 1sen hinzukriegen geht
> nicht ohne das man im Rest Brüche in Kauf nimmt. Ich weiß
> nun nicht, wie zwingend es ist, das am Anfang nur 1sen
> stehen?!
Nein, Hauptsache, du hast die [mm] $\triangle$-Form
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 7 & 0 & 0 & 12 & 55\\ 0 & 3 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -4}[/mm]
>
> Ist es überhaupt zulässig das ich jetzt z.B. die erste
> Zeile durch 7 teile und die anderen beiden durch 3 ?
Ja, du darfst Zeilen mit Skalaren (Zahlen) [mm] $\neq [/mm] 0$ multiplizieren, ohne dass du die Lösungsgesamtheit veränderst
>
> Und wo soll denn jetzt die frei wählbare Variable hin?
Ich komme, wenn ich das 2-fache der 1.Zeile zur 2.Zeile addiere und die 2.Zeile zur 3.Zeile addiere, anschließend die "neue" 3.Zeile mit [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] multipliziere auf
[mm] $\pmat{ 1 & 3 & 5 & 1 & | & 5\\ 0 & 2 & 7 & -1 & | & -4 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & | & -4}$
[/mm]
Aber wie dem auch sei, wir haben beide nun eine Dreiecksform:
In der letzten Zeile steht ja (wieder als Gleichung umgeschrieben):
[mm] $0\cdot{}x_1+0\cdot{}x_2+3\cdot{}x_3-1\cdot{}x_4=-4$, [/mm] also [mm] $3x_3-x_4=-4$
[/mm]
Hier hast du deine freie Variable, setzt [mm] $x_4=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$, [/mm] so ist [mm] $3x_3=-4+t\Rightarrow x_3=-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}t$
[/mm]
Weiteres Rückwärtseinsetzen gibt dir die Lösungen für [mm] $x_2, x_1$ [/mm] ...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe ;)
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 So 05.10.2008 | | Autor: | steem |
Vielen Dank!
Jetzt hab ich das verstanden! Dein Ergebnis
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 & 1 & | & 5\\ 0 & 2 & 7 & -1 & | & -4 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & | & -4}
[/mm]
Hatte ich ganz am Anfang schonmal, aber ich dachte es ist notwendig, dass in der 3x3 Matrix nur noch in der Diagonalen Zahlen stehen.
So wie hier
[mm] \pmat{ 7 & 0 & 0 & 12 & 55\\ 0 & 3 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -4}
[/mm]
Wenn das natürlich nicht nötig ist, ist das ja umso besser ;)
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Hallo steem,
> Ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe. Aber
> ich hab das jetzt einfach mal so gemacht wie ich es
> verstanden hab!
>
> Ich habe mir aus diesem System
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 5 & 1\\ -2 & -4 & -3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & 1}\pmat{ x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 5\\ -14 \\ 6 }[/mm]
>
> folgende 3x3 Matrix rausgesucht
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 5 \\ -2 & -4 & -3 \\ 2 & 0 & 1 }[/mm]
>
> und diese in die Form
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Gebracht. Jetzt habe ich ja vom Anfang noch was über, da
> ich nicht wusste was man damit macht, hab ich das einfach
> drangehängt und mein derzeitiger Stand sieht so aus:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 }\pmat{ 1t \\ -3t \\ 1t }=$ \pmat{ 5 \\ -14 \\ 6}[/mm]
>
> Irgendwie beschleicht mich das Gefühl, dass ich mich damit
> auf Abwegen befinde :)
>
Siehe dazu den Post von Merle23
Gruß
MathePower
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