Loch durch Erdkugel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im Erdinneren beträgt die Kraft auf eine Masse m, die sich im Abstand r vom Mittelpunkt der Erde befindet, [mm] F_{G}=mgr/R. [/mm] Dabei ist R=6350km der Erdradius. Quer durch die Erdkugel ist ein Loch gebohrt und auf Zimmertemperatur gekühlt worden, in das sich der Hamburger Geologieprofessor Otto Lidenbrock fallen lässt. Was ist die höchste Geschwindigkeit, die Professor Lidenbrock während seines Sturzes erreicht? (Reibung soll vernachlässigt werden. Die Erdmasse beträgt [mm] 5,98*10^{24}kg)
[/mm]
Lösung: 7893m/s |
Hi,
ich konnte diese Aufgabe zwar lösen, bin aber dennoch nicht ganz zufrieden.
Erstmal mein Rechenweg:
2. Newtonsches Axiom:
ma=mgr/R ; mit [mm] a=v^{2}/r
[/mm]
[mm] v=\wurzel{gr^{2}/R}
[/mm]
So jetzt zu meinem Problem. Ich weiss das die Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt maximal ist. Also hab ich für r einfach R eingesetz und bekomme:
[mm] v=\wurzel{gR}=7893m/s
[/mm]
Gut soweit, allerdings fehlt mir die mathematische Begründung dafür, dass die Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt am größten ist. Ich hab dann mal versucht den Ausdruck [mm] v=\wurzel{gr^{2}/R} [/mm] nach r abzuleiten und die Ableitung gleich Null gesetzt. Ich dachte so bekomm ich raus für welches r die Geschwindigkeit maximal wird. Funktioniert aber nicht, warum nicht?
Hier die Rechnung dazu:
[mm] v(r)=\wurzel{gr^{2}/R} \to v'(r)=0=\wurzel{g/R}
[/mm]
Also noch mal meine Fragen: Wie ist die mathematische Begründung dafür das im Erdmittelpunkt die Geschwindigkeit am höchsten ist??? Und warum klappt das mit der Ableitung nicht?? Müsste doch eigentlich so funktionieren... Ach ja, noch was. Warum ist in der Aufgabenstellung die Erdmasse angegeben? Zur Verwirrung oder ist da vielleicht ein komplett anderer Rechenweg möglich????
Vielen Dankk für eure Hilfe!!!
Gruß
Bernd
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Im Erdinneren beträgt die Kraft auf eine Masse m, die sich
> im Abstand r vom Mittelpunkt der Erde befindet,
> [mm]F_{G}=mgr/R.[/mm] Dabei ist R=6350km der Erdradius. Quer durch
> die Erdkugel ist ein Loch gebohrt und auf Zimmertemperatur
> gekühlt worden, in das sich der Hamburger Geologieprofessor
> Otto Lidenbrock fallen lässt. Was ist die höchste
> Geschwindigkeit, die Professor Lidenbrock während seines
> Sturzes erreicht? (Reibung soll vernachlässigt werden. Die
> Erdmasse beträgt [mm]5,98*10^{24}kg)[/mm]
> Lösung: 7893m/s
> Hi,
>
> ich konnte diese Aufgabe zwar lösen, bin aber dennoch nicht
> ganz zufrieden.
>
> Erstmal mein Rechenweg:
>
> 2. Newtonsches Axiom:
> ma=mgr/R ; mit [mm]a=v^{2}/r[/mm]
> [mm]v=\wurzel{gr^{2}/R}[/mm]
>
du gehst hier also von einer Kreisbewegung aus....
> So jetzt zu meinem Problem. Ich weiss das die
> Geschwindigkeit im Erdmittelpunkt maximal ist. Also hab ich
> für r einfach R eingesetz und bekomme:
>
> [mm]v=\wurzel{gR}=7893m/s[/mm]
Warum machst du das? Wenn du weist, dass v im Erdmittelpunkt am größten ist, und du weist, dass r der Abstand vom Mittelpunkt der Erde ist, dann müsste doch am Erdmittelpunkt r=0 gelten.....
Dass dein Ergebnis aber richtig ist, hängt damit zusammen, dass man eine Schwingung auch mit Hilfe einer Kreisbewegung ebenfalls beschreiben kann. Mir fällt dazu gerade eine projizierte Kreisbewegung in die Ebene ein im Vergleich zu einer Federschwingung.
>
> Gut soweit, allerdings fehlt mir die mathematische
> Begründung dafür, dass die Geschwindigkeit im
> Erdmittelpunkt am größten ist. Ich hab dann mal versucht
> den Ausdruck [mm]v=\wurzel{gr^{2}/R}[/mm] nach r abzuleiten und die
> Ableitung gleich Null gesetzt. Ich dachte so bekomm ich
> raus für welches r die Geschwindigkeit maximal wird.
> Funktioniert aber nicht, warum nicht?
>
> Hier die Rechnung dazu:
>
> [mm]v(r)=\wurzel{gr^{2}/R} \to v'(r)=0=\wurzel{g/R}[/mm]
>
Das ist soweit richtig.
> Also noch mal meine Fragen: Wie ist die mathematische
> Begründung dafür das im Erdmittelpunkt die Geschwindigkeit
> am höchsten ist???
Nun, anschaulich ist es so: Ist man "oben" auf der Erde, hat man volle Kraft. Man wird beschleunigt. So lange, bis man dann am Erdmittelpunkt ist, wird man beschleunigt. Danach wird man abgebremst => v ist im Erdmittelpunkt am größten.
> Und warum klappt das mit der Ableitung
> nicht?? Müsste doch eigentlich so funktionieren...
Nun, du hast eine Kreisbewegung angenommen, das passt hier nicht zu 100%. Man müsste jetzt von der Kreisbewegung auf die Schwingung zurückrechnen etc.
Was du ja jetzt hier berechnet hast, ist die "Änderung" deiner Kreisgeschwindigkeit in Abhängigkeit von r. Dass dann da/dr=const. gilt, ist ja auch soweit richtig.
> Ach ja,
> noch was. Warum ist in der Aufgabenstellung die Erdmasse
> angegeben? Zur Verwirrung oder ist da vielleicht ein
> komplett anderer Rechenweg möglich????
Ja. Ich nehme mal an, du kannst DGL lösen.
Deine Kraft ist ja einmal gegeben als [mm] $F=m\ddot{r}$ [/mm] und einmal, aus der Aufgabenstellung $F=mgr/R$
Jetzt den ganzen Spaß gleichsetzen, dann hat man die DGL:
[mm] $m\ddot{r}+\frac{mg}{R}r=0 \gdw \ddot{r}+\frac{g}{R}r=0$
[/mm]
Das ist die DGL eines harm. Osizllators. Wenn wir jetzt [mm] $\omega^2=\frac{g}{R}$ [/mm] annehmen, dann hat die DGL die Lösung
[mm] $r(t)=r_0*cos(\omega [/mm] t + [mm] \phi)$
[/mm]
Dabei ist [mm] $r_0=R$ [/mm] (warum?)
Jetzt das ganze mal weiter rechnen, wissen, dass [mm] $\dot{r}=v$ [/mm] gilt, und sich dann mal die Formel für v ansehen, dann weist du auch, warum deine Lösung korrekt ist.
LG
Kroni
>
> Vielen Dankk für eure Hilfe!!!
>
>
> Gruß
> Bernd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Fr 05.09.2008 | | Autor: | berndbrot |
Super!!! Vielen Dank
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