Lipschitzstetig, n=1 < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Do 25.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Hallo.
Sei F: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/mm] stetig differenzierbar und F'(x) invertierbar:
Es gilt lokal eine Art Lipschitzbedingung:
[mm] \forall x^{\*} \in \mathbb{R} \exists [/mm] Umgebung [mm] U(x^{\*}) [/mm] sodass: [mm] ||F'(x)^{-1} [/mm] (F'(y)-F'(x))|| [mm] \le [/mm] L ||y-x|| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in U(x^{\*})
[/mm]
Warum folgt daraus, dass F' Lipschitzstetig ist? |
Hallo
Mein Versuch:
||F'(y)-F'(x)||=||F'(x) [mm] [F'(x)]^{-1} [/mm] [F'(y) - F'(x)]|| [mm] \le [/mm] ||F'(x)|| [mm] ||[F'(x)]^{-1} [/mm] (F'(y) - F'(x))|| [mm] \le [/mm] ||F'(x)|| L ||x-y||
Nun kann ich aber ||F'(x)|| nicht als konsante betrachten. Ich wüsste nicht wie ich die Norm im allgemeinen Fall abschätzen kann?
Kann man dann nur von Lipschitzstetigkeit von F' in einen kompakten Intervall sprechen(da F' stetig und hier maximum annimmt) um es abzuschätzen'?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Do 25.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> Sei F: [mm]\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/mm] stetig
> differenzierbar und F'(x) invertierbar:
Lautet das nicht [mm]F: \IR^n \rightarrow \IR^n}[/mm] ?
Soll F'(x) invertierbar sein für alle x [mm] \in \IR^n [/mm] ?
> Es gilt lokal eine Art Lipschitzbedingung:
> [mm]\forall x^{\*} \in \mathbb{R} \exists[/mm] Umgebung [mm]U(x^{\*})[/mm]
> sodass: [mm]||F'(x)^{-1}[/mm] (F'(y)-F'(x))|| [mm]\le[/mm] L ||y-x|| [mm]\forall[/mm]
> x,y [mm]\in U(x^{\*})[/mm]
>
> Warum folgt daraus, dass F' Lipschitzstetig ist?
Es ist F' lokal Lipschitzstetig !
Auf der Umgebung [mm] U(x^{\*}) [/mm] ist $||F'(x)||$ beschränkt.
FRED
>
>
> Hallo
> Mein Versuch:
> ||F'(y)-F'(x)||=||F'(x) [mm][F'(x)]^{-1}[/mm] [F'(y) - F'(x)]|| [mm]\le[/mm]
> ||F'(x)|| [mm]||[F'(x)]^{-1}[/mm] (F'(y) - F'(x))|| [mm]\le[/mm] ||F'(x)|| L
> ||x-y||
> Nun kann ich aber ||F'(x)|| nicht als konsante betrachten.
> Ich wüsste nicht wie ich die Norm im allgemeinen Fall
> abschätzen kann?
>
> Kann man dann nur von Lipschitzstetigkeit von F' in einen
> kompakten Intervall sprechen(da F' stetig und hier maximum
> annimmt) um es abzuschätzen'?
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 25.02.2016 | | Autor: | sissile |
Entschuldige ich habe die Frage nicht gut gestellt.
Ich probier es nochmal:
Es geht um das NewtonVerfahren im [mm] \mathbb{R}^n.
[/mm]
Als Bedingung ist aufgeführt, dass F: D(F) [mm] \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] stetig differenzierbar sowie eine Nullstlle [mm] x^{\*} [/mm] im Inneren von D(F) besitzt. Ist die Jacobimatrix F'(x) invertierbar für alle x in einer Umgebung [mm] U(x^{\*}) [/mm] in D(F) und die Art der Lipschitzbedingung:
[mm] ||F'(x)^{-1} [/mm] (F'(y)-F'(x))|| [mm] \le [/mm] L||y-x|| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in U(x^{\*}) [/mm] erfüllt so konvergiert das Newtonverfahren mindestens lokal quadratisch.
Nun wollte ich mir den Fall n=1 anschauen und verstehen warum die Art der Lipschitzbedingung im Satz erfüllt ist falls F' Lipschitz-stetig ist.
Es gelte F: D(F) [mm] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/mm] stetig differenziebar und F' ist lokal Lipschitzstetig, d.h. [mm] \forall x^{\*} \in \mathbb{R} [/mm] : ||F'(y)-F'(x)|| [mm] \le [/mm] L ||y-x|| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in U(x^{\*})
[/mm]
ZZ.: F' erfüllt die Art der Lipschitzbedingung:
für x,y [mm] \in U(x^{\*}): ||F'(x)^{-1} [/mm] (F'(y)-F'(x))|| [mm] \le ||F'(x)^{-1}|| [/mm] || F'(y) - F'(x)|| [mm] \le ||F'(x)^{-1}|| [/mm] L ||y-x||
Jetzt habe ich eben nicht verstanden warum auf der Umgebung $ [mm] U(x^{\*}) [/mm] $ die Größe $ [mm] ||F'(x)^{-1}|| [/mm] $ beschränkt ist. Ich bräuchte dafür doch eine kompakte Menge?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Do 25.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Entschuldige ich habe die Frage nicht gut gestellt.
> Ich probier es nochmal:
>
> Es geht um das NewtonVerfahren im [mm]\mathbb{R}^n.[/mm]
> Als Bedingung ist aufgeführt, dass F: D(F) [mm]\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n[/mm]
> stetig differenzierbar sowie eine Nullstlle [mm]x^{\*}[/mm] im
> Inneren von D(F) besitzt. Ist die Jacobimatrix F'(x)
> invertierbar für alle x in einer Umgebung [mm]U(x^{\*})[/mm] in
> D(F) und die Art der Lipschitzbedingung:
> [mm]||F'(x)^{-1}[/mm] (F'(y)-F'(x))|| [mm]\le[/mm] L||y-x|| [mm]\forall[/mm] x,y
> [mm]\in U(x^{\*})[/mm] erfüllt so konvergiert das Newtonverfahren
> mindestens lokal quadratisch.
>
> Nun wollte ich mir den Fall n=1 anschauen und verstehen
> warum die Art der Lipschitzbedingung im Satz erfüllt ist
> falls F' Lipschitz-stetig ist.
> Es gelte F: D(F) [mm]\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> stetig differenziebar und F' ist lokal Lipschitzstetig,
> d.h. [mm]\forall x^{\*} \in \mathbb{R}[/mm] : ||F'(y)-F'(x)|| [mm]\le[/mm] L
> ||y-x|| [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in U(x^{\*})[/mm]
> ZZ.: F' erfüllt die Art
> der Lipschitzbedingung:
> für x,y [mm]\in U(x^{\*}): ||F'(x)^{-1}[/mm] (F'(y)-F'(x))|| [mm]\le ||F'(x)^{-1}||[/mm]
> || F'(y) - F'(x)|| [mm]\le ||F'(x)^{-1}||[/mm] L ||y-x||
>
> Jetzt habe ich eben nicht verstanden warum auf der Umgebung
> [mm]U(x^{\*})[/mm] die Größe [mm]||F'(x)^{-1}||[/mm] beschränkt ist. Ich
> bräuchte dafür doch eine kompakte Menge?
Ich nehme an, dass D(F) offen ist. Zu [mm] x^{\*} \in [/mm] D(F) gibt es eine offene Kreisscheibe [mm] K(r,x^{\*}) \subseteq [/mm] D(F) mit Mittelpunkt [mm] x^{\*} [/mm] und Radius r derart, dass
[mm]||F'(x)^{-1}[/mm] (F'(y)-F'(x))|| [mm]\le ||F'(x)^{-1}||[/mm] || F'(y) - F'(x)|| [mm]\le ||F'(x)^{-1}||[/mm] L ||y-x|| für alle x,y [mm] \in K(r,x^{\*})
[/mm]
Setze nun [mm] U(x^{\*}):=\overline{K(\bruch{r}{2},x^{\*})}
[/mm]
Dann ist [mm] U(x^{\*}) [/mm] kompakt.
FRED
> LG,
> sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Do 25.02.2016 | | Autor: | sissile |
Danke**
LG,
sissi
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