Lipschitzstetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:48 Di 08.05.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Für j=1,2 ist die Fuktion [mm] g_j:[0,1] \rightarrow \R [/mm] so definiert
[mm] $g_1(z) [/mm] = [mm] sin(\sqrt{0,4+z^2}), g_2(z) [/mm] = [mm] cos(\sqrt{0,4+z^2}) \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] [0,1]$
Zeige, dass [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] jeweils Lipschitzstetig sind und dass f+r doe Lipschitzkonstante gilt L= [mm] \frac{1}{\sqrt{1.4}}<1.
[/mm]
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Hoi.
Ich hab diese Aufgabe mit dem Mittelwertsatz versucht zu lösen und dann einer Abschätzung. Guckt doch bitte mal drüber und helft mir
[mm] $|g_j(x) [/mm] - [mm] g_j(y)| [/mm] = [mm] g_j(z) [/mm] |x-y| [mm] \le [/mm] max g'_j(z)*|x-y|$
[mm] $g_1'(z) [/mm] = [mm] \frac{z}{\sqrt{0.4+z^2}}*cos(\sqrt{0.4+z^2})$
[/mm]
Jetzt habe ich abgeschätzt,
$z [mm] \le [/mm] 1$
[mm] $\sqrt{0.4+z^2}\le \sqrt{1.4}$
[/mm]
[mm] $cos(\sqrt{0.4+z^2})\le1$
[/mm]
Der gesamte Term daher [mm] \le \frac{1}{\sqrt{1.4}}
[/mm]
Vorher allerdings habe ich noch gedacht, dass man zeigen muss das es monoton wachsend ist
[mm] $(z*(0.4+z^2)^{-0.5})' [/mm] = [mm] (0.4+z^2)^{-0.5}+z(\frac{-1}{2}(0.4+z^2)^{-1.5}*2r) [/mm] > 0$, also monoton wachsend.
Oder bringt mir die Betrachtung jetz gar nix?
[mm] $g_2'(z) [/mm] = [mm] \frac{-z*sin(\sqrt{0.4+z^2})}{\sqrt{0.4+z^2}}$
[/mm]
Und aus der monoton wachsend Betrachtung kann ich doch jetzt hier auch wieder folgern, dass
[mm] $\frac{z}{\sqrt{0.4+z^2}}\le \frac{1}{\sqrt{1.4}} [/mm] = L $
Oder ist das alles ungenügend?
Gruß,
Wehm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Di 08.05.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde sagen, alles top.
ullim
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