Lipschitznorm < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Fr 02.02.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | Sei X der Vektorraum (!) aller Lipschitz-stetigen Funktionen von [0,1] nach R. Für x [mm] \in [/mm] X setze:
[mm] \parallelx\parallel_{Lip} [/mm] = |x(0)| + [mm] \sup_{s\not=t}|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}|
[/mm]
Zeige, dass [mm] \parallelx\parallel_{Lip} [/mm] eine Norm ist |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo!
Ich habe getan, was verlangt wird, doch stimmt es auch?
a) [mm] \parallel [/mm] µ x [mm] \parallel_{Lip} [/mm] = |µ x(0)| + sup|µ [mm] \bruch{x(s)-x(t)}{s-t}| [/mm] = |µ||x(0)| + [mm] |µ|sup|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}| [/mm] = |µ| (|x(0)| + [mm] sup|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}| [/mm] ) = |µ| [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{Lip}
[/mm]
b) [mm] \parallel [/mm] x + y [mm] \parallel_{Lip} [/mm] =
|x(0) + y(0)| + sup | [mm] \bruch{x(s)-x(t)+y(s)+y(t)}{s-t}| \le
[/mm]
[mm] \le [/mm] |x(0)| + |y(0)| + [mm] sup|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}| [/mm] + sup| [mm] \bruch{y(s)-y(t)}{s-t}| [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{Lip} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{Lip}
[/mm]
c) [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{Lip} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{Lip} [/mm] =
|x(0)| + [mm] \sup_{s\not=t}|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}| \Rightarrow [/mm] x(i) = 0
Danke!!! dena
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 03.02.2007 | | Autor: | SEcki |
> a) [mm]\parallel[/mm] µ x [mm]\parallel_{Lip}[/mm] = |µ x(0)| + sup|µ
> [mm]\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}|[/mm] = |µ||x(0)| +
> [mm]|µ|sup|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}|[/mm] = |µ| (|x(0)| +
> [mm]sup|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}|[/mm] ) = |µ| [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{Lip}[/mm]
Ja.
> b) [mm]\parallel[/mm] x + y [mm]\parallel_{Lip}[/mm] =
> |x(0) + y(0)| + sup | [mm]\bruch{x(s)-x(t)+y(s)+y(t)}{s-t}| \le[/mm]
>
> [mm]\le[/mm] |x(0)| + |y(0)| + [mm]sup|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}|[/mm] + sup|
> [mm]\bruch{y(s)-y(t)}{s-t}|[/mm] = [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{Lip}[/mm] +
> [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel_{Lip}[/mm]
Ja.
> c) [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{Lip}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=0
>
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{Lip}[/mm] =
> |x(0)| + [mm]\sup_{s\not=t}|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}| \Rightarrow[/mm]
> x(i) = 0
Hier hast du gar nicht argumentiert, sondern blos die Folgerung hingeschriben. Etwas unsauber imo.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mo 05.02.2007 | | Autor: | dena |
Danke SEcki!!!
|
|
|
|
