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| Aufgabe | Man überprüfe, ob die angegeben Funktionen eine Lipschitzbedingung bzgl. y erfüllen.
(1) f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] - |y|, auf einem Rechteck um [mm] (0,0)^{t}
[/mm]
(2) f(x,y) = 1 + [mm] \wurzel{|y|}, [/mm] auf einem Rechteck um [mm] (0,0)^{t}
[/mm]
(3) f(x,y) = [mm] \bruch{4x^{3}y}{x^{4}+4y^{2}}, [/mm] auf einem Rechteck um [mm] (0,0)^{t} [/mm] ohne den Nullpunkt
(4) f(x,y) = [mm] \bruch{siny}{x} [/mm] auf [mm] \IR^{2}\{0,0} [/mm]
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Hallo an alle,
könnt ihr mir sagen, ob das stimmt?
zu 1.)
|f(x,y) - f(x,y')| = ||y|-|y'|| [mm] \le [/mm] |y - y'|
also ja.
zu 2.)
|f(x,y) - f(x,y')| = [mm] |\wurzel{|y|} [/mm] - [mm] \wurzel{|y'|} \le (|\wurzel{|y|} [/mm] - [mm] \wurzel{|y'|}|)*(|\wurzel{|y|} [/mm] + [mm] \wurzel{|y'|}) [/mm] = ||y|-|y'|| [mm] \le [/mm] |y - y'|
also ja.
Sind die Lipschitzkonstanten dann in beiden Fällen 1, müsste doch oder?
zu 3.) hier habe ich keinen Beweis wie eben geführt, sondern die partiellen Ableitungen gebildet. Diese sind stetig und da man die Lipschitzbedingung auf einem Rechteck um (0,0) ohne Nullpunkt untersuchen soll, und diese Menge kompakt ist, ist auch das Bild kompakt und daher sind die Ableitungen beschränkt. Die Behauptung müsste dann doch mit dem Mittelwertsatz folgen. Ist das richtig?
zu 4.) Ja, hier bin ich mir nicht so sicher, denn
|f(x,y) - f(x,y')| = [mm] |\bruch{siny}{x} [/mm] - [mm] \bruch{siny'}{x}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{x} [/mm] (siny-siny') | = [mm] |\bruch{1}{x}| [/mm] * |siny-siny'| [mm] \le |\bruch{1}{x}|, [/mm] aber für x,y in der Nähe Null müsste doch die Lipschitzbedingung nicht erfüllt sein, da 1/x für x -> 0 (mit x > 0) ja gegen unendlich geht (bzw. -unendlich für x < 0
also würde ich eher für nicht Lipschitzbedingung argumentieren.
Zum Schluss noch ein allgemeine Frage: Wenn ich eine Funktion f(x,y) ((z.B.) f(x,y) = [mm] xy^{2}) [/mm] gegeben habe und untersuchen soll in welche Menge X des Def.-bereichs sie eine LB erfüllt, wie würde man da vorgehen? Sich beliebige Mengen vorgeben und dann einfach probieren? Wie würdet ihr das machen?
Ich danke euch.
Grüße, Steffen
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hi,
> Man überprüfe, ob die angegeben Funktionen eine
> Lipschitzbedingung bzgl. y erfüllen.
>
> (1) f(x,y) = [mm]x^{2}[/mm] - |y|, auf einem Rechteck um [mm](0,0)^{t}[/mm]
> (2) f(x,y) = 1 + [mm]\wurzel{|y|},[/mm] auf einem Rechteck um
> [mm](0,0)^{t}[/mm]
> (3) f(x,y) = [mm]\bruch{4x^{3}y}{x^{4}+4y^{2}},[/mm] auf einem
> Rechteck um [mm](0,0)^{t}[/mm] ohne den Nullpunkt
> (4) f(x,y) = [mm]\bruch{siny}{x}[/mm] auf [mm]\IR^{2}\{0,0}[/mm]
>
> Hallo an alle,
>
> könnt ihr mir sagen, ob das stimmt?
>
> zu 1.)
>
> |f(x,y) - f(x,y')| = ||y|-|y'|| [mm]\le[/mm] |y - y'|
> also ja.
sollte stimmen, ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> zu 2.)
>
> |f(x,y) - f(x,y')| = [mm]|\wurzel{|y|}[/mm] - [mm]\wurzel{|y'|} \le (|\wurzel{|y|}[/mm]
> - [mm]\wurzel{|y'|}|)*(|\wurzel{|y|}[/mm] + [mm]\wurzel{|y'|})[/mm] =
> ||y|-|y'|| [mm]\le[/mm] |y - y'|
> also ja.
>
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") nein. die wurzelfunktion ist nicht L-stetig. Schau dir die ableitung an, die geht gegen [mm] \infty [/mm] fuer y gegen 0. deine erste [mm] \le-abschaetzung [/mm] gilt nicht fuer kleine y und y'.
> Sind die Lipschitzkonstanten dann in beiden Fällen 1,
> müsste doch oder?
>
> zu 3.) hier habe ich keinen Beweis wie eben geführt,
> sondern die partiellen Ableitungen gebildet. Diese sind
> stetig und da man die Lipschitzbedingung auf einem Rechteck
> um (0,0) ohne Nullpunkt untersuchen soll, und diese Menge
> kompakt ist, ist auch das Bild kompakt und daher sind die
> Ableitungen beschränkt. Die Behauptung müsste dann doch mit
> dem Mittelwertsatz folgen. Ist das richtig?
>
absolut richtig. ![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]")
> zu 4.) Ja, hier bin ich mir nicht so sicher, denn
> |f(x,y) - f(x,y')| = [mm]|\bruch{siny}{x}[/mm] - [mm]\bruch{siny'}{x}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{1}{x}[/mm] (siny-siny') | = [mm]|\bruch{1}{x}|[/mm] *
> |siny-siny'| [mm]\le |\bruch{1}{x}|,[/mm] aber für x,y in der Nähe
> Null müsste doch die Lipschitzbedingung nicht erfüllt sein,
> da 1/x für x -> 0 (mit x > 0) ja gegen unendlich geht (bzw.
> -unendlich für x < 0
> also würde ich eher für nicht Lipschitzbedingung
> argumentieren.
yep.
>
> Zum Schluss noch ein allgemeine Frage: Wenn ich eine
> Funktion f(x,y) ((z.B.) f(x,y) = [mm]xy^{2})[/mm] gegeben habe und
> untersuchen soll in welche Menge X des Def.-bereichs sie
> eine LB erfüllt, wie würde man da vorgehen? Sich beliebige
> Mengen vorgeben und dann einfach probieren? Wie würdet ihr
> das machen?
>
der haeufigste und einfachste fall ist, dass die funktion bzgl. y stetig diffbar ist. Dann ist die funktion zumindest auf kompakta L-stetig. oder auch auf nicht kompakten mengen, wenn du die ableitung gegen eine konstante abschaetzen kannst.
In allen anderen faellen muss man, denke ich, frickeln.
> Ich danke euch.
> Grüße, Steffen
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Fr 26.10.2007 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Mathias,
vielen Dank für deine Antworten. Bei der Wurzelfunktion habe ich mich echt vertan.
Grüße, Steffen
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