Lipschitz Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:02 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie für die folgenden Funktionen, ob sie Lipschitz-stetig sind, und falls ja geben Sie eine Lipschitz-Konstante an.
a) [mm] f:\IR^3 \to \IR^2 [/mm] mit
[mm] f(x):=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }x
[/mm]
d) [mm] p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR [/mm] mit
p(f):=f'(1). |
Aufgabe a) habe ich bereits gelöst.
Nun ist p(f):=f'(1)
Mit f ist denke ich mal die funktion aus Aufgabe a) gemeint, weswegen ich sie hier nochmal notiert habe.
Dann wäre f'(1)=0 ?
Mein größtes Problem an der aufgabe ist, dass ich [mm] p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR [/mm] nicht verstehe.
Also mit [mm] C^1[0,2] [/mm] sollte
[mm] C^1[0,2]:= \integral_{0}^{2}{|p(x)| dx} [/mm] gemeint sein.
Aber wofür steht dann [mm] ||\cdot||_{C^1[0,2]} [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:38 Sa 18.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Entscheiden Sie für die folgenden Funktionen, ob sie
> Lipschitz-stetig sind, und falls ja geben Sie eine
> Lipschitz-Konstante an.
>
> a) [mm]f:\IR^3 \to \IR^2[/mm] mit
>
> [mm]f(x):=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }x[/mm]
>
> d) [mm]p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR[/mm] mit
>
> p(f):=f'(1).
> Aufgabe a) habe ich bereits gelöst.
>
> Nun ist p(f):=f'(1)
>
> Mit f ist denke ich mal die funktion aus Aufgabe a)
> gemeint, weswegen ich sie hier nochmal notiert habe.
Nein. Aufgabe b) hat mit a) nichts zu tun.
>
> Dann wäre f'(1)=0 ?
>
> Mein größtes Problem an der aufgabe ist, dass ich
> [mm]p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR[/mm] nicht
> verstehe.
Es ist [mm] C^1[0,2] [/mm] der Raum der auf [0,2] stetig differenzierbaren Funktionen. Auf dieser menge ist die Abbildung p wie folgt definiert:
ist f [mm] \in C^1[0,2], [/mm] so ordnet p diesem f den Wert f'(1) zu,
also p(f)=f'(1).
Beispiel: [mm] f(x)=x^2+3x, [/mm] dann ist f'(x)=2x+3, also f'(1)=5.
somit ist p(f)=5.
>
> Also mit [mm]C^1[0,2][/mm] sollte
>
> [mm]C^1[0,2]:= \integral_{0}^{2}{|p(x)| dx}[/mm] gemeint sein.
Nein. Siehe oben.
>
> Aber wofür steht dann [mm] ||\cdot||_{C^1[0,2]} [/mm] ?
Damit ist eine Norm auf [mm] C^1[0,2] [/mm] gemeint.
Für eine stetige Funktion g auf [0,2] setzen wir: [mm] ||g||_{\infty}:=max\{|g(x)| : x \in [0,2] \}.
[/mm]
Für [mm] ||\cdot||_{C^1[0,2]} [/mm] sehe ich 2 Möglichkeiten:
1. [mm] ||f||_{C^1[0,2]}:=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}
[/mm]
oder
2. [mm] ||f||_{C^1[0,2]}:= [/mm] max [mm] \{||f||_{\infty},||f'||_{\infty} \}
[/mm]
Welche der beiden Möglichkeiten nun gemeint ist, mußt Du DEinen Unterlagen entnehmen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
> > Entscheiden Sie für die folgenden Funktionen, ob sie
> > Lipschitz-stetig sind, und falls ja geben Sie eine
> > Lipschitz-Konstante an.
> >
> > a) [mm]f:\IR^3 \to \IR^2[/mm] mit
> >
> > [mm]f(x):=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }x[/mm]
> >
> > d) [mm]p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR[/mm] mit
> >
> > p(f):=f'(1).
> > Aufgabe a) habe ich bereits gelöst.
> >
> > Nun ist p(f):=f'(1)
> >
> > Mit f ist denke ich mal die funktion aus Aufgabe a)
> > gemeint, weswegen ich sie hier nochmal notiert habe.
>
>
>
> Nein. Aufgabe b) hat mit a) nichts zu tun.
> >
> > Dann wäre f'(1)=0 ?
> >
> > Mein größtes Problem an der aufgabe ist, dass ich
> > [mm]p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR[/mm] nicht
> > verstehe.
>
>
>
> Es ist [mm]C^1[0,2][/mm] der Raum der auf [0,2] stetig
> differenzierbaren Funktionen. Auf dieser menge ist die
> Abbildung p wie folgt definiert:
>
> ist f [mm]\in C^1[0,2],[/mm] so ordnet p diesem f den Wert f'(1)
> zu,
>
> also p(f)=f'(1).
>
> Beispiel: [mm]f(x)=x^2+3x,[/mm] dann ist f'(x)=2x+3, also f'(1)=5.
>
> somit ist p(f)=5.
Ah okay, also muss ich es ganz allgemein für [mm] f\in C^1[0,2] [/mm] zeigen.
> > Also mit [mm]C^1[0,2][/mm] sollte
> >
> > [mm]C^1[0,2]:= \integral_{0}^{2}{|p(x)| dx}[/mm] gemeint sein.
>
> Nein. Siehe oben.
> >
> > Aber wofür steht dann [mm]||\cdot||_{C^1[0,2]}[/mm] ?
>
> Damit ist eine Norm auf [mm]C^1[0,2][/mm] gemeint.
>
> Für eine stetige Funktion g auf [0,2] setzen wir:
> [mm]||g||_{\infty}:=max\{|g(x)| : x \in [0,2] \}.[/mm]
>
> Für [mm]||\cdot||_{C^1[0,2]}[/mm] sehe ich 2 Möglichkeiten:
>
> 1. [mm]||f||_{C^1[0,2]}:=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}[/mm]
>
> oder
>
> 2. [mm]||f||_{C^1[0,2]}:=[/mm] max [mm]\{||f||_{\infty},||f'||_{\infty} \}[/mm]
>
>
>
> Welche der beiden Möglichkeiten nun gemeint ist, mußt Du
> DEinen Unterlagen entnehmen.
Ah vielen dank. Dann ist es die erste Variante.
[mm]||f||_{C^1[0,2]}:=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}[/mm]
Ein wenig probleme bereit mir die Aufgabe aber dennoch.
Also ich hab zu zeigen:
Es gibt ein L>0, sodass
[mm] |p(x_1)-p(x_2)|
[mm] \gdw \bruch{|p(x_1)-p(x_2)|}{|x_1-x_2|}
Was in etwa der differenzierbarkeit von funktionen entsprechen würde.
Argumentativ würde ich sagen, die funktion ist Lipschitz Stetig, da sie als stetige funktion auf dem Kompakten Intervall ihr Minimum und Maximum annimmt. Die funktion ist somit beschränkt, also existiert auch eine Lipschitzkonstante L>0, sodass:
[mm] |p(x_1)-p(x_2)|
Nur weiss ich immer noch nicht, wo genau ich nun anfangen soll.
Eine konkrete funktion hab ich ja nicht gegeben. Ich weiss nur, dass p die funktion auf ihre ableitung an der stelle 1, abbildet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe mir jetzt zu Deiner Aufgabe 2.) eigentlich keine Gedanken gemacht, aber mal ein paar Worte zum Verständnis der Aufgabe:
> > > Entscheiden Sie für die folgenden Funktionen, ob sie
> > > Lipschitz-stetig sind, und falls ja geben Sie eine
> > > Lipschitz-Konstante an.
> > >
> > > a) [mm]f:\IR^3 \to \IR^2[/mm] mit
> > >
> > > [mm]f(x):=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 }x[/mm]
> > >
> > > d) [mm]p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR[/mm] mit
> > >
> > > p(f):=f'(1).
> > > Aufgabe a) habe ich bereits gelöst.
> > >
> > > Nun ist p(f):=f'(1)
> > >
> > > Mit f ist denke ich mal die funktion aus Aufgabe a)
> > > gemeint, weswegen ich sie hier nochmal notiert habe.
> >
> >
> >
> > Nein. Aufgabe b) hat mit a) nichts zu tun.
> > >
> > > Dann wäre f'(1)=0 ?
> > >
> > > Mein größtes Problem an der aufgabe ist, dass ich
> > > [mm]p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR[/mm] nicht
> > > verstehe.
> >
> >
> >
> > Es ist [mm]C^1[0,2][/mm] der Raum der auf [0,2] stetig
> > differenzierbaren Funktionen. Auf dieser menge ist die
> > Abbildung p wie folgt definiert:
> >
> > ist f [mm]\in C^1[0,2],[/mm] so ordnet p diesem f den Wert f'(1)
> > zu,
> >
> > also p(f)=f'(1).
> >
> > Beispiel: [mm]f(x)=x^2+3x,[/mm] dann ist f'(x)=2x+3, also f'(1)=5.
> >
> > somit ist p(f)=5.
>
> Ah okay, also muss ich es ganz allgemein für [mm]f\in C^1[0,2][/mm]
> zeigen.
Du musst halt zeigen, dass [mm] $p\,$ [/mm] auf dem ganzen Definitionsbereich
Lipschitzstetig ist. Wäre der nur [mm] $=\{f\}\,$ [/mm] mit einem [mm] $f\,$ [/mm] (was sicher nicht
das aus dem ersten Teil der Aufgabe ist - denk' einfach mal drüber nach,
wieso das gänzlich keinen Sinn machen kann), so ist das doch langweilig.
Das wäre vergleichbar mit der Untersuchung einer Funktion $f [mm] \colon \{x_0\} \to \IR$ [/mm] auf
Lipschitzstetigkeit!
> > > Also mit [mm]C^1[0,2][/mm] sollte
> > >
> > > [mm]C^1[0,2]:= \integral_{0}^{2}{|p(x)| dx}[/mm] gemeint sein.
> >
> > Nein. Siehe oben.
> > >
> > > Aber wofür steht dann [mm]||\cdot||_{C^1[0,2]}[/mm] ?
> >
> > Damit ist eine Norm auf [mm]C^1[0,2][/mm] gemeint.
> >
> > Für eine stetige Funktion g auf [0,2] setzen wir:
> > [mm]||g||_{\infty}:=max\{|g(x)| : x \in [0,2] \}.[/mm]
> >
> > Für [mm]||\cdot||_{C^1[0,2]}[/mm] sehe ich 2 Möglichkeiten:
> >
> > 1. [mm]||f||_{C^1[0,2]}:=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}[/mm]
> >
> > oder
> >
> > 2. [mm]||f||_{C^1[0,2]}:=[/mm] max [mm]\{||f||_{\infty},||f'||_{\infty} \}[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Welche der beiden Möglichkeiten nun gemeint ist, mußt Du
> > DEinen Unterlagen entnehmen.
>
> Ah vielen dank. Dann ist es die erste Variante.
>
> [mm]||f||_{C^1[0,2]}:=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}[/mm]
>
>
> Ein wenig probleme bereit mir die Aufgabe aber dennoch.
>
> Also ich hab zu zeigen:
>
> Es gibt ein L>0, sodass
>
> [mm]|p(x_1)-p(x_2)|
>
>
> [mm]\gdw \bruch{|p(x_1)-p(x_2)|}{|x_1-x_2|}
>
> Was in etwa der differenzierbarkeit von funktionen
> entsprechen würde.
>
> Argumentativ würde ich sagen, die funktion ist Lipschitz
> Stetig, da sie als stetige funktion auf dem Kompakten
> Intervall ihr Minimum und Maximum annimmt. Die funktion ist
> somit beschränkt, also existiert auch eine
> Lipschitzkonstante L>0, sodass:
>
> [mm]|p(x_1)-p(x_2)|
Wieso sollte das aus der Beschränktheit folgen? Etwa für diff'bare
Funktionen $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] kann man die Lipschitzstetigkeit mit der Beschränktheit
von [mm] $\red{f\;'}$ [/mm] - also der Beschränktheit der Ableitung(sfunktion) - charakterisieren.
Aber doch auch da nicht mit der Beschränktheit von [mm] $f\,.$ [/mm] Du denkst hier
anscheinend, dass gleichmäßig stetig das Gleiche wäre wie Lipschitzstetig,
das ist aber nicht so. Aus L.-Stetigkeit folgt auch Glm.-Stetigkeit, aber im
allgemeinen nicht umgekehrt!
> Nur weiss ich immer noch nicht, wo genau ich nun anfangen
> soll.
> Eine konkrete funktion hab ich ja nicht gegeben. Ich weiss
> nur, dass p die funktion auf ihre ableitung an der stelle
> 1, abbildet.
Doch: [mm] $p\,$ [/mm] ist Deine konkrete Funktion, ihr Definitionsbereich ist halt selbst
wieder eine Menge/Klasse von Funktionen, ihr Zielbereich ist [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Du kannst mir sicherlich sofort sagen, wie
$$p(x)$$
aussieht, wenn
[mm] $$x\,$$
[/mm]
irgendein Polynom (eingeschränkt auf [mm] $[0,2]\,$) [/mm] ist: $x [mm] \colon [/mm] [0,2] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $x(t)=\sum_{k=1}^n a_k(x)*t^k$ ($\red{t\,} \in [/mm] [0,2]$)
und [mm] $a_k(x) \in \IR$ [/mm] feste reelle Zahlen, abhängig von [mm] $x\,.$
[/mm]
(Warum gilt hier überhaupt $x [mm] \in C^1...$?)
[/mm]
Beachte: Bei [mm] $p=p(x)\,$ [/mm] ist die Variable [mm] $x\,,$ [/mm] aber [mm] $x\,$ [/mm] ist selber wieder
eine Funktion, in [mm] $x=x(t)\,$ [/mm] ist [mm] $t\,$ [/mm] die Funktionsvariable bzgl. [mm] $x\,.$ [/mm] Das
interessiert die Funktion [mm] $p\,$ [/mm] aber auch nicht, ob da nun [mm] $x=x(t)\,$ [/mm] oder
[mm] $x=x(y)\,$ [/mm] oder was auch immer steht...
Denn das ist uninteressant für den Wert [mm] $x'(1)\,$ [/mm] - und wie gesagt: Was
ist [mm] $x'(1)\,,$ [/mm] wenn [mm] $x\,$ [/mm] selbst ein Polynom der obigen Bauart ist?
Was Fred fragte, ist nicht ohne Grund: Für $f,g [mm] \in C^1...$ [/mm] (ich erspare es mir,
das alles abzuschreiben) musst Du natürlich wissen, wie [mm] $\|f-g\|$ [/mm] aussehen
soll. Insbesondere musst Du Dir auch überhaupt mal bewußt sein, dass
sowas wie $f,g [mm] \in C^1...$ $\Rightarrow$ [/mm] $(f-g) [mm] \in C^1...$ [/mm] gilt. Wie willst Du sonst
die Norm von [mm] $C^1...$ [/mm] auf [mm] $(f-g)\,$ [/mm] einfach loslassen dürfen?
Und mal anders: Ich schreibe nur kurz [mm] $(C^1...,\|.\|)\,$ [/mm] für den Raum, den Du oben
stehen hast. (Das ist ein Vektorraum mit einer Norm ausgestattet!)
Die Frage, ob die gegebene Funktion [mm] $p\,$ [/mm] (die im Übrigen auch sinnvoll
definiert ist) Lipschitzstetig ist, ist die Frage, ob es ein $L > 0$ so gibt,
dass folgendes gilt:
[mm] $$\forall [/mm] f,g [mm] \in C^1... (f,g\text{ sind also auf [0,2] stetig differenzierbar}) \text{ gilt }$$
[/mm]
$$|p(f)-p(g)|< [mm] L*\|f-g\|\,.$$
[/mm]
Die "Variablen" von [mm] $p\,$ [/mm] sind also (auf [mm] $[0,2]\,$ [/mm] definierte, dort stetig differenzierbare)
Funktionen, 'die Länge der Funktion $(f-g) [mm] \in C^1...$ [/mm] wird mit [mm] $\|f-g\|\,$ [/mm] gemessen'...
Linkerhand ist [mm] $p(f)=f\,'(1) \in \IR$ [/mm] und $p(g)=g'(1) [mm] \in \IR\,,$ [/mm] also ist $|p(f)-p(g)|$
der Betrag der Zahl $p(f)-p(g)=f'(1)-g'(1) [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mein größtes Problem an der aufgabe ist, dass ich
> [mm]p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR[/mm] nicht
> verstehe.
okay: Sind [mm] $(X,d)\,$ [/mm] und [mm] $(Y,e)\,$ [/mm] metrische Räume, so schreibt man für eine Funktion
$f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ auch $f [mm] \colon [/mm] (X,d) [mm] \to (Y,e)\,,$ [/mm] wenn man sich die Schreibarbeit,
nochmal getrennt davon separat zu erwähnen, dass [mm] $(X,d)\,$ [/mm] und [mm] $(Y,e)\,$ [/mm]
metrische Räume sind, ersparen will. Vor allen Dingen schreibt bzw. erwähnt
man das dann, wenn man zu untersuchende Eigenschaften hat, die von
der jeweiligen Metrik abhängig sind bzw. sein können. (Willst Du etwa nur
[mm] $f([0,2])\,$ [/mm] für $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] berechnen, so interessiert Dich weder,
mit welcher Metrik [mm] $\IR\,,$ [/mm] - der Definitionsbereich hier - noch mit welcher der
Zielbereich, der hier auch [mm] $\IR$ [/mm] ist, ausgestattet ist.)
Analoges schreibt man auch, wenn man überall "metrische Räume" durch
"normierte Räume" ersetzt. (Später auch: "Topologische Räume"!)
DEFINITION: Eine Funktion $f [mm] \colon [/mm] (X,d) [mm] \to [/mm] (Y,e)$ zwischen metrischen Räumen
heißt Lipschitzstetig (genau dann), wenn es eine Konstante $L > [mm] 0\,$ [/mm] so gibt,
dass
[mm] $$\forall x_1,x_2 \in X:\;\;\;\;\;\;\;e(\underbrace{f(x_1)}_{\in Y},\;\underbrace{f(x_2)}_{\in Y}) \le L*d(x_1,x_2)\,.$$
[/mm]
Schreibt man jetzt $f [mm] \colon (X,\|.\|_X) \to (Y,\|.\|_Y)\,,$ [/mm] wobei das nun eine Funktion
zwischen NORMIERTEN Räumen ist, so kann man, weil jede Norm eine Metrik
induziert (welche?), diese Funktion auch als Funktion zwischen den metrischen
Räumen betrachten, die durch diese Normen induziert werden. In diesem
Sinne ist es dann zu verstehen, was es bedeutet, dass eine Funktion zwischen
normierten Räumen Lipschitzstetig sein soll. Schreibst Du das aus und entsprechend
um, so kommst Du zu der Erkenntnis:
... Lipschitzstetig genau dann, wenn es eine Konstante $L > [mm] 0\,$ [/mm] so gibt,
dass
[mm] $$\forall x_1,x_2 \in X:\;\;\;\;\;\;\;\|\underbrace{f(x_1)}_{\in Y}\;\;\red{\text{--}}\;\;\;\underbrace{f(x_2)}_{\in Y}\|_Y \le L*\|x_1\;\red{\text{--}}\;x_2\|_X\,.$$
[/mm]
Nun schreibt man, wenn man von [mm] $\IR$ [/mm] redet, meist nicht die Norm hin, mit
der man [mm] $\IR$ [/mm] als ausgestattet betrachtet (anders gesagt: Wenn klar ist,
dass nichts anderes gemeint ist, ist mit [mm] $\IR$ [/mm] als normierter Raum eigentlich
der normierte Raum [mm] $(\IR,|.|)\,$ [/mm] gemeint, wobei [mm] $|.|\,$ [/mm] die übliche Betragsfunktion
[mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist). Analog: Wenn man vom "metrischen Raum [mm] $\IR$" [/mm] redet, und
sonst nichts anderes gesagt wurde, betrachtet man [mm] $\IR$ [/mm] mit der Metrik [mm] $d_{|.|}\,,$
[/mm]
welches die Metrik ist, die von der oben genannten Betragsfunktion (das
ist eine Norm auf [mm] $\IR$!) [/mm] induziert wird.
Fazit:
[mm] $$p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to \IR$$
[/mm]
bedeutet also eigentlich
[mm] $$p:(C^1[0,2], ||\cdot||_{C^1[0,2]}) \to (\IR,|.|)\,,$$
[/mm]
das ist also eine Funktion zwischen normierten Räumen. Und der Rest dazu
steht oben.
Gruß,
Marcel
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