Lipschitz Konstante bestimmen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Sypher |
| Aufgabe | Given is the equation [mm] e^{x-2}-x [/mm] = 0.
a) For the smallest fixed point find a reasonably small interval on which the function is contracting and determine the Lipschitz constant. |
Hallo,
ich schaue zuerst wo die Steigung >1 ist, da ab diesem Punkt die Steigung wegen der Exponentialfunktion nur größer werden, bzw. vor diesem Punkt kleiner werden kann.
Komme folglich auf x = 2.
So, für x = 2 ist die Ableitung f’(2) = 1. Da L nicht 1 und 0 sein darf kommt das mal nicht in Frage. Was genau ist nun mein kleinstes Interval und meine kleinste Lipschitz Konstante?
Danke
Gruß
sypher
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 30.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Given is the equation [mm]e^{x-2}-x[/mm] = 0.
>
> a) For the smallest fixed point find a reasonably small
> interval on which the function is contracting and determine
> the Lipschitz constant.
> Hallo,
>
> ich schaue zuerst wo die Steigung >1 ist, da ab diesem
> Punkt die Steigung wegen der Exponentialfunktion nur
> größer werden, bzw. vor diesem Punkt kleiner werden kann.
>
> Komme folglich auf x = 2.
>
> So, für x = 2 ist die Ableitung f’(2) = 1. Da L nicht 1
> und 0 sein darf kommt das mal nicht in Frage. Was genau ist
> nun mein kleinstes Interval und meine kleinste Lipschitz
> Konstante?
>
> Danke
>
> Gruß
> sypher
Setze [mm] f(x)=e^{x-2} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1]
Zeige:
1. f([0,1]) [mm] \subseteq [/mm] [0,1].
2. Es gibt ein L [mm] \in [/mm] [0,1) mit 0 [mm] \le [/mm] f'(x) [mm] \le [/mm] L für alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
3. |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L |x-y| für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,1].
Nach dem Fixpunktsatz hat f in [0,1] genau einen Fixpunkt.
Diese ist auch der kleinste Fixpunkt von f (wenn f mehrere Fixpunkte haben sollte), warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Sypher |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Nimmst du jetzt [0,1] weil L genau dazwischen liegen muss? Dann müsste ich das also bei allen anderen Aufgaben auch so machen
und woher genau weiss ich eigentlich, dass f in [0,1] genau einen fixpunkt hat? (ohne es gezeichnet zu haben). Bei der Zeichnung sieht man, dass es zwei fixpunkte hat, wobei der andere weiter rechts liegt und dort die Steigung größer 1 ist, also kann dort keine fix point iteration gemacht werden.
Danke
Gruß
Sypher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mi 30.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für die schnelle Antwort.
>
> Nimmst du jetzt [0,1] weil L genau dazwischen liegen muss?
Hä ? das verstehe ich nicht .
> Dann müsste ich das also bei allen anderen Aufgaben auch
> so machen
??????
>
> und woher genau weiss ich eigentlich, dass f in [0,1] genau
> einen fixpunkt hat?
Das sollst Du doch zeigen.
FRED
> (ohne es gezeichnet zu haben). Bei der
> Zeichnung sieht man, dass es zwei fixpunkte hat, wobei der
> andere weiter rechts liegt und dort die Steigung größer 1
> ist, also kann dort keine fix point iteration gemacht
> werden.
>
> Danke
>
> Gruß
> Sypher
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:16 Mi 30.01.2013 | | Autor: | Sypher |
Ich seh schon ich blick das Thema auf keinem Auge sorry.
Falls ich [mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le [/mm] L verwende und x = 0, y = 1 einsetze, bekomme ich L [mm] \ge [/mm] 0,232 raus. Wäre das schon meine Lipschitz Konstante?
Dadurch zeige ich doch gleichzeitig auch, dass dort ein Fixpunkt ist, da ich etwas zwischen 0 und 1 herausbekomme, oder?
Da f streng monoton steigend ist, muss zwischen 0 und 1 der kleinste fixpunkt sein, ist das richtig?
Mir ist immernoch nicht klar, warum ich als Ansatz [0,1] nehme, könnte doch auch [0,1.9] sein oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 01.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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