Lipschitz-stetigkeit (Aufgabe) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi
ich habe folgende Aufgabe:
Es sei [mm] f:(a,b)\to \IR [/mm] differenzierbar, [mm] f':(a,b)\to \IR [/mm] sei beschränkt.
Zeigen Sie, dass f Lipschitz-stetig ist. Zeigen Sie, dass die Umkehrung nicht gilt: Aus f differnzierbat und Lipschitz-stetig folgt nicht unbedingt die Beschränktheit von f'.
Könntet ihr mir vielleicht zeigen wie das gehen soll? Weiß weder wie ich die Lipschitz-stetigkeit im ersten Teil beweisen soll, noch die Umkehrung ;-((. *schnuff*
Bitte, bitte helft mir,
Vielen, vielen Dank im Vorraus,
Spider
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Mo 28.01.2008 | | Autor: | blascowitz |
Guten Tach
Sei also f(x) diffbar auf (a,b) und f'(x) beschränkt. Dass heißt dann ja dass es ein M [mm] \in \IR [/mm] gibt sodass |f'(x)|<=M [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,b). Nun wende mal den Mittelwertsatz der Differenzial und Integralrechnung an. Der sagt ja [mm] \bruch{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(\psi) [/mm] für ein [mm] \psi \in [/mm] (a,b). Daraus bekommst du dann die Lipschitzstetigkeit.
Die Umkehrung würde ich mit einem Gegenbeispiel zeigen. Zum Beispiel ist die Wurzelfunktion [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] auf (0,1). (Probier mal ob das geht)
Einen schönen Tach noch
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