Lipschitz-Stetigkeit bzgl. y < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Sa 02.03.2024 | | Autor: | Maha |
| Aufgabe | Auf den Quadrat D [mm] =[-1,1]\times[-1,1] [/mm] sowie auf den Streifen [mm] S=[-1,1]\times\IR [/mm] und [mm] S'=\IR\times[-1,1] [/mm] soll die Lipschitz-Stetigkeit bzgl. y der Funktion:
f: [mm] \IR^{2}\to\IR
[/mm]
[mm] f(t,y)=\begin{cases} t+1+y^{2}, & \mbox{für } y \ge 0 \\ t+y, & \mbox{für } y < 0 \end{cases}
[/mm]
geprüft werden. |
Ich würde nun für beide Funktionen die Lipschitz-Stetigkeit bzgl. y prüfen:
t+y:
|t + [mm] y_{1} [/mm] - t - [mm] y_{2}| \le [/mm] L [mm] |y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}|
[/mm]
= [mm] |y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}| \le [/mm] L [mm] |y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}|
[/mm]
= 1 [mm] \le [/mm] L
D.h. t+y ist auf D, S und S' lipschitzstetig mit L=1.
[mm] t+1+y^{2}: [/mm]
|t + 1 + [mm] y_{1}^{2} [/mm] - t - 1 - [mm] y_{2}^{2}| \le [/mm] L [mm] |y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}|
[/mm]
= [mm] |y_{1}^{2} [/mm] - [mm] y_{2}^{2}| \le [/mm] L [mm] |y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}|
[/mm]
= [mm] |y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}|*|y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}| \le [/mm] L [mm] |y_{1} [/mm] - [mm] y_{2}|
[/mm]
= [mm] |y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}| \le [/mm] L
Da für die Funktion [mm] t+1+y^{2} [/mm] gilt y<0, schaue ich mir die folgenden Intervalle an:
D [mm] =[-1,1]\times[-1,0); S=[-1,1]\times[-\infty,0) [/mm] und [mm] S'=\IR \times[-1,0)
[/mm]
Die Funktion ist doch dann auf D und S' mit L = 2 lipschitzstetig und auf S nicht, da [mm] |y_{1} [/mm] + [mm] y_{2}| [/mm] nicht beschränkt ist wegen [mm] -\infty.
[/mm]
Jedoch ist laut Lösung die Funktion f nicht lipschitzstetig. In der Lösung steht:
"
[mm] \limes_{y\rightarrow\ 0_{-}}f(t,y)=t+1\not=t=f(t,0)
[/mm]
Damit kann f nicht lipschitzstetig bzgl. y auf D sein, und damit auch nicht auf S oder S'."
Ich verstehe die Lösung nicht. Laut Rechnung ist sie doch lipschitzstetig oder habe ich das falsch berechnet?
Danke für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> Auf den Quadrat D [mm]=[-1,1]\times[-1,1][/mm] sowie auf den
> Streifen [mm]S=[-1,1]\times\IR[/mm] und [mm]S'=\IR\times[-1,1][/mm] soll die
> Lipschitz-Stetigkeit bzgl. y der Funktion:
> f: [mm]\IR^{2}\to\IR[/mm]
>
> [mm]f(t,y)=\begin{cases} t+1+y^{2}, & \mbox{für } y \ge 0 \\ t+y, & \mbox{für } y < 0 \end{cases}[/mm]
>
> geprüft werden.
> Ich würde nun für beide Funktionen die
> Lipschitz-Stetigkeit bzgl. y prüfen:
>
> t+y:
>
> |t + [mm]y_{1}[/mm] - t - [mm]y_{2}| \le[/mm] L [mm]|y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}|[/mm]
> = [mm]|y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}| \le[/mm] L [mm]|y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}|[/mm]
> = 1 [mm]\le[/mm] L
>
> D.h. t+y ist auf D, S und S' lipschitzstetig mit L=1.
>
> [mm]t+1+y^{2}:[/mm]
>
> |t + 1 + [mm]y_{1}^{2}[/mm] - t - 1 - [mm]y_{2}^{2}| \le[/mm] L [mm]|y_{1}[/mm] -
> [mm]y_{2}|[/mm]
> = [mm]|y_{1}^{2}[/mm] - [mm]y_{2}^{2}| \le[/mm] L [mm]|y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}|[/mm]
> = [mm]|y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}|*|y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}| \le[/mm] L [mm]|y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}|[/mm]
> = [mm]|y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}| \le[/mm] L
>
> Da für die Funktion [mm]t+1+y^{2}[/mm] gilt y<0, schaue ich mir die
> folgenden Intervalle an:
> D [mm]=[-1,1]\times[-1,0); S=[-1,1]\times[-\infty,0)[/mm] und
> [mm]S'=\IR \times[-1,0)[/mm]
>
> Die Funktion ist doch dann auf D und S' mit L = 2
> lipschitzstetig und auf S nicht, da [mm]|y_{1}[/mm] + [mm]y_{2}|[/mm] nicht
> beschränkt ist wegen [mm]-\infty.[/mm]
>
> Jedoch ist laut Lösung die Funktion f nicht
> lipschitzstetig. In der Lösung steht:
> "
> [mm]\limes_{y\rightarrow\ 0_{-}}f(t,y)=t+1\not=t=f(t,0)[/mm]
Die Funktion ist nicht stetig an den Stellen (t,0) mit t beliebig.
Damit kann sie auch nicht lipschitzstetig sein.
Du hast nur gezeigt, dass f auf den beiden Teilgebieten [mm]y<0[/mm] und [mm]y\in[0;1][/mm] jeweils lipschitzstetig ist.
>
> Damit kann f nicht lipschitzstetig bzgl. y auf D sein, und
> damit auch nicht auf S oder S'."
>
> Ich verstehe die Lösung nicht. Laut Rechnung ist sie doch
> lipschitzstetig oder habe ich das falsch berechnet?
>
> Danke für eure Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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