Lipschitz-Konstante < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
| Aufgabe | Eine Funktipn [mm] f:U\to \IR [/mm] auf einem offenen Intervall U hat eine Lipschitz-Konstante L>0, falls für alle x,y [mm] \in [/mm] U gilt: |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| (A)
Beweise: Ist f differenzierbar mit beschränkter Ableitungsfunktion f`: U [mm] \to \IR, [/mm] so gilt (A) mit der Lipschitz- Konstanten L:=sup|f`(z)|. [mm] z\in [/mm] U |
Guten Tag, ich habe die Aufgabe versucht und bin mir nicht sicher ob ich den Beweis richtig zu ende geführt habe.
voraussetzung:-Ableitung ist beschränkt und Diffbar.
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt ein M>0 sodass für jedes z gilt |f'(z)|<M aus den MWS folgt [mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] |f'(z)||x-y|<M|x-y| [mm] \Rightarrow [/mm] L:=sup|f'(z)|. [mm] z\in [/mm] U
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> Eine Funktion [mm]f:U\to \IR[/mm] auf einem offenen Intervall U hat
> eine Lipschitz-Konstante L>0, falls für alle x,y [mm]\in[/mm] U
> gilt: |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] L|x-y| (A)
> Beweise: Ist f differenzierbar mit beschränkter
> Ableitungsfunktion f': U [mm]\to \IR,[/mm] so gilt (A) mit der
> Lipschitz- Konstanten L:=sup|f'(z)|. [mm]z\in[/mm] U
> Voraussetzung:-Ableitung ist beschränkt und Diffbar.
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt ein M>0 sodass für jedes z gilt
> |f'(z)|<M aus den MWS folgt [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm]
> |f'(z)||x-y|<M|x-y| [mm]\Rightarrow[/mm] L:=sup|f'(z)|. [mm]z\in[/mm] U
Hallo Blub2009,
du hast wohl die richtige Idee, aber die Darstellung
ist noch ausbaufähig.
Erst mal: Es wird nicht vorausgesetzt, dass die
Ableitung f' differenzierbar sei, sondern dass f
differenzierbar und f' beschränkt sei.
Dann existiert das Supremum sup|f'(z)| als
obere Schranke für die Beträge der Tangenten-
steigungen. Man definiert:
$\ [mm] L\,:=\ \underset{z\in U}{sup}\ [/mm] |f'(z)|$
Nun seien [mm] x,y\in [/mm] U, z.B. [mm] x\le [/mm] y . Nach dem MWS existiert
ein z mit [mm] x\le z\le [/mm] y , also auch [mm] z\in [/mm] U mit
$\ f(x)-f(y)\ =\ f'(z)*(x-y)$
also auch
$\ |f(x)-f(y)|\ =\ |f'(z)|*|x-y|$
Wegen der Definition von L ist natürlich $\ [mm] |f'(z)|\le [/mm] L$ und
damit
$\ |f(x)-f(y)|\ =\ [mm] \underbrace{|f'(z)|}_{\ge 0\,;\,\le L}\underbrace{|x-y|}_{\ge 0}\ \le\ L*|x-y|\qquad\square$
[/mm]
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
Danke für die Antwort
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