Lipschitz-Bedingung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Blubie |
| Aufgabe | | f(t,x)=x^(1/3), R=[0,1)x[0,s), s>0 |
Hallo, ich bin ein nicht-Mathematiker und soll bei ein paar Funktionen prüfen, ob die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist. Anhand der obigen Aufgabe würde ich gerne verstehen, wie man das macht.
Ich habe ein Lemma das sagt, wenn die Definitionsmenge R konvex ist und df/dx existiert und auf R beschränkt ist, so ist die Lipschitz-Bedinung erfüllt.
R ist ja konvex, wenn ich das richtig verstanden habe. die Ableitung ist f'(t,x)=(1/3)*(1/x)^(2/3), also existent. Jetzt müsste f' noch beschränkt sein aber wie zeige ich das bzw. widerlege ich das?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> f(t,x)=x^(1/3), R=[0,1)x[0,s), s>0
Hängt Dein $f$ wirklich nur von $x$ ab? Dann wäre es doch einfacher
[mm] $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$, [/mm] $R=[0,s[$, $s>0$
zu schreiben!? Dieses $R$ ist konvex, denn nehme ich zwei Punkte aus der Menge $[0,s[$, so ist deren gesamte Verbindungsgerade darin enthalten. Die erste Ableitung von $f$ ist dann
[mm] $f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$
[/mm]
Diese Funktion ist in $x=0$ aber unbeschränkt!!!
> Hallo, ich bin ein nicht-Mathematiker und soll bei ein paar
> Funktionen prüfen, ob die Lipschitz-Bedingung erfüllt
> ist. Anhand der obigen Aufgabe würde ich gerne verstehen,
> wie man das macht.
>
> Ich habe ein Lemma das sagt, wenn die Definitionsmenge R
> konvex ist und df/dx existiert und auf R beschränkt ist,
> so ist die Lipschitz-Bedinung erfüllt.
>
>
> R ist ja konvex, wenn ich das richtig verstanden habe.
Ja, das stimmt.
> die Ableitung ist f'(t,x)=(1/3)*(1/x)^(2/3), also existent.
Die Ableitung existiert, ist aber falsch von Dir berechnet worden, siehe oben.
> Jetzt müsste f' noch beschränkt sein aber wie zeige ich
> das bzw. widerlege ich das?
Naja, wenn Dein $f$ richtig angegeben ist, ist $f'(x)$ nicht beschränkt für $x$ aus $R=[0,s[$. Denn je mehr sich $x$ der $0$ nähert, desto größer wird $f'(x)$.
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Blubie |
Also deine Aussage, dass meine Ableitung ungleich deiner deiner sein soll stimmt doch nicht:
(1/3)*x^(-2/3) = (1/3)*(1/x)^(2/3). Ein wenig umformen...
Also ist f' nicht beschränkt. Wie drücke ich das formal aus? Außerdem stellt sich mir dann immer noch die frage, wie ich dann die Lipschitz-Bedingung zeige oder widerlege. Denn das von mir beschrieben Lemma ist ja keine gdw. beziehung sondern nur eine implikation.
Gruß und danke für deine mühe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also deine Aussage, dass meine Ableitung ungleich deiner
> deiner sein soll stimmt doch nicht:
>
> (1/3)*x^(-2/3) = (1/3)*(1/x)^(2/3). Ein wenig umformen...
>
> Also ist f' nicht beschränkt. Wie drücke ich das formal
> aus? Außerdem stellt sich mir dann immer noch die frage,
> wie ich dann die Lipschitz-Bedingung zeige oder widerlege.
> Denn das von mir beschrieben Lemma ist ja keine gdw.
> beziehung sondern nur eine implikation.
was ist nun mit dem Definitionsbereich? Ist $f=f(t,x)$ mit $(t,x) [mm] \in [/mm] ... [mm] \times ...\,,$ [/mm] oder ist $f=f(x)$ mit $x [mm] \in [0,s)\,,$ [/mm] für ein $s > 0$?
Und in der Tat ist [mm] $f(x)=x^{1/3}$ [/mm] auf [mm] $[0,s)\,$ [/mm] NICHT Lipschitzstetig - an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] ist zwar [mm] $f\,$ [/mm] nicht differenzierbar, aber es existiert die folgende Ableitungsfunktion:
[mm] $(f_{|(0,s)})'\,,$ [/mm] und diese ist unbeschränkt. Also (![[]](/images/popup.gif) Wiki, zum Nachlesen) ist [mm] $f\,$ [/mm] nicht Lipschitz.
Alternative:
Man kann auch Nullfolgen [mm] $(x_n)_n\,,(y_n)_n$ [/mm] mit $0 < [mm] x_n [/mm] < [mm] y_n [/mm] < s$ wählen und auf diese den MWS anwenden - auch dann siehst Du, dass "die Unbeschränktheit von [mm] $f\,$ [/mm] 'nahe der Null' " die Lipschitzstetigkeit zertärt.
P.S.
Obiges [mm] $f\,$ [/mm] ist übrigens sowohl stetig als auch glm. stetig!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f(t,x)=x^(1/3), R=[0,1)x[0,s), s>0
>
> Hallo, ich bin ein nicht-Mathematiker und soll bei ein paar
> Funktionen prüfen, ob die Lipschitz-Bedingung erfüllt
> ist. Anhand der obigen Aufgabe würde ich gerne verstehen,
> wie man das macht.
>
> Ich habe ein Lemma das sagt, wenn die Definitionsmenge R
> konvex ist und df/dx existiert und auf R beschränkt ist,
> so ist die Lipschitz-Bedinung erfüllt.
>
> R ist ja konvex, wenn ich das richtig verstanden habe. die
> Ableitung ist f'(t,x)=(1/3)*(1/x)^(2/3), also existent.
beachte bei der Ableitung: für [mm] $f(x)=x^{1/3}$ [/mm] existiert [mm] $f\,'(x)$ [/mm] jedenfalls nicht für [mm] $x=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Do 03.05.2012 | | Autor: | Blubie |
Wäre man dann nicht schon fertig?
Es gilt ja:
(f' ex. [mm] \wedge [/mm] f' beschr.) [mm] \Rightarrow [/mm] (f L.-St.). Mit Kontraposition folgt:
[mm] (\neg [/mm] f' ex. [mm] \vee \neg [/mm] f' beschr.) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] f L.-St.).
f' existiert bei 0 nicht, also kann man doch direkt folgen, dass f nicht L.-St. ist oder ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Do 03.05.2012 | | Autor: | Blubie |
statt der Implikation wollte ich einen gdw.-Pfeil schreiben :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> statt der Implikation wollte ich einen gdw.-Pfeil schreiben
> :)
auch das geht nicht:
Bei der Aussage:
[mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt [mm] $\gdw$ $f\,$ [/mm] ist Lipschitz
wird [mm] $f\,$ [/mm] stets (auf [mm] $(a,b)\,$) [/mm] als differenzierbar vorausgesetzt. Anders gesagt:
Es gilt in übertriebener Fomulierung:
Genau dann, wenn [mm] $f\,'$ [/mm] differenzierbar ist und wenn [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt ist, dann ist [mm] $f\,'$ [/mm] differenzierbar und [mm] $f\,$ [/mm] ist Lipschitz.
Kurz halt: Für differenzierbares [mm] $f\,$ [/mm] gilt:
Genau dann ist [mm] $f\,$ [/mm] Lipschitz, wenn [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt.
(Ich habe nun natürlich nicht alle Voraussetzungen aufgezählt, etwa, auf welchen Mengen [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar sein soll oder ....)
Und daher kannst Du hier die Aussage [mm] "$f\,$ [/mm] Lipschitz [mm] $\gdw$ $f\,'$ [/mm] beschränkt" nicht verwenden, weil die "universelle Voraussetzung" für diese, nämlich, dass [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar sei, nicht erfüllt ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Do 03.05.2012 | | Autor: | Blubie |
Dann muss ich mit der Definition arbeiten. Danach ist f L.-St. wenn es ein L>0 gibt mit [mm] |f(t,x_{1})-f(t,x_{2})|<=L*|x_{1}-x_{2}| [/mm] für alle [mm] (t,x_{1}),(t,x_{2}) \in [/mm] R.
Also habe ich [mm] |x_{1}^{1/3}-x_{2}^{1/3}|. [/mm] Damit muss ich ja nun irgendwie einen Widerspruch erzeugen. Aber wie gehe ich da ran?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann muss ich mit der Definition arbeiten. Danach ist f
> L.-St. wenn es ein L>0 gibt mit
> [mm]|f(t,x_{1})-f(t,x_{2})|<=L*|x_{1}-x_{2}|[/mm] für alle
> [mm](t,x_{1}),(t,x_{2}) \in[/mm] R.
> Also habe ich [mm]|x_{1}^{1/3}-x_{2}^{1/3}|.[/mm] Damit muss ich ja
> nun irgendwie einen Widerspruch erzeugen. Aber wie gehe ich
> da ran?
warum stehen hier wieder die [mm] $t\,$'s? [/mm] Du musst uns schon mal die vollständige Aufgabe posten.
Warum [mm] $f(x)=x^{1/3}$ [/mm] auf $[0,s)$ (mit einem $s > [mm] 0\,$) [/mm] nicht Lipschitz sein kann, habe ich Dir geschrieben. Im Prinzip geht man bei der erwähnten "genau dann Lipschitz, wenn Ableitung beschränkt"-Aussage im Beweis genau so vor.
Lies' einfach nochmal den Teil, wo ich den Mittelwertsatz angesprochen habe, aus meiner anderen Antwort - ich hoffe doch, dass ihr den MWS gelernt habt?
Und wenn Du da nicht weiterkommst, werde ich Dir vermutlich morgen weitere Tipps geben, falls bis dato das dann niemand anderes übernommen haben sollte.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Do 03.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wäre man dann nicht schon fertig?
nein!
> Es gilt ja:
> (f' ex. [mm]\wedge[/mm] f' beschr.) [mm]\Rightarrow[/mm] (f L.-St.). Mit
> Kontraposition folgt:
> [mm](\neg[/mm] f' ex. [mm]\vee \neg[/mm] f' beschr.) [mm]\Rightarrow (\neg[/mm] f
> L.-St.).
>
> f' existiert bei 0 nicht, also kann man doch direkt folgen,
> dass f nicht L.-St. ist oder ?
Die Kontraposition zu $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ lautet NICHT [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$ - das wäre ja auch langweilig, denn dann wäre jeder [mm] $\Rightarrow$-Beweis [/mm] automatisch ein [mm] $\gdw$-Beweis, [/mm] sondern:
Es sind äquivalent
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
und (die Kontraposition)
[mm] $$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,.$$
[/mm]
Und zudem: Was bringt Dir das dann? Ich meine, oben ist die Kontraposition zu der bewiesenen Folgerung:
"Wenn [mm] $f\,$ [/mm] nicht Lipschitz ist, dann existiert [mm] $f\,'$ [/mm] nicht oder [mm] $f\,'$ [/mm] ist unbeschränkt."
Das heißt, wenn Du nun auf irgendeine (andere) Art und Weise [mm] $f\,$ [/mm] als nicht Lipschitz erkennen würdest, würde Dir die Kontraposition die Aussage liefern, dass dann [mm] $f\,'$ [/mm] nicht existieren würde, oder eben nicht beschränkt wäre.
Gruß,
Marcel
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