Linksinverse gesucht < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 Sa 26.04.2014 | | Autor: | felixp |
Hallo alle zusammen,
Ich habe eine Verständnisfrage zu Linksinversen. Also sei eine Matrix M [mm] \in \IR^{axb} [/mm] gegeben und wir wollen zeigen, dass es zu dieser eine Linksinverse Matrix N [mm] \in \IR^{bxa} [/mm] existiert.
Dann gilt ja nach Definition:
N * M = [mm] I_{b}
[/mm]
Allgemein würde ich zur gegebenen Matrix M die Linksinverse N aufstellen indem ich sie mit unbekannten Parametern fülle.
also z.B. so [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] * M = [mm] I_{b}
[/mm]
Dann würde ich dies ausmultiplizieren und mit der Einheitsmatrix vergleichen und anschliessend lösen.
Wie sieht das denn aus wenn ich nur EINE Linksinverse berechnen soll. Ich stehe da gerade auf dem Schlauch. Ich denke das geht deutlich einfacher als allgemein erstmal alle zu berechnen und dann einfach für die Parameter etwas einzusetzen.
Vielen Dank für Anregungen oder Tipps :)
Grüß Felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
überlege dir mal, was du mit der Inversen von M so alles anstellen könntest...
EDIT: mein Vorschlag war uninnig, ich hatte nicht richtig gelesen...
Gruß, Diophant
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:43 So 27.04.2014 | | Autor: | felixp |
Naja was mir gestern eingefallen ist, wäre die Möglichkeit die Matrix M als Transponierte umzuschreiben.
Denn wenn ich mich nicht irre gilt, wenn N die Linksinverse von M ist, ist äquivalent dazu die Transponierte von N die Rechtsinverse von der Transponierten von M.
Also könnte ich die Transponierte von der gegebenen Matrix M bilden, dazu die Rechtsinverse bestimmen. Damit erhalte ich eine Matrix und wenn ich diese wieder transponiere, müsste dann doch die gesuchte Linksinverse rauskommen.
Oder liege ich auf dem Holzweg und habe ich dich nicht verstanden? Ich weiß ehrlich gesagt nicht was ich mit der Inversen machen könnte nach deiner Anregung.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Gruß Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 So 27.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Naja was mir gestern eingefallen ist, wäre die
> Möglichkeit die Matrix M als Transponierte umzuschreiben.
>
> Denn wenn ich mich nicht irre gilt, wenn N die Linksinverse
> von M ist, ist äquivalent dazu die Transponierte von N die
> Rechtsinverse von der Transponierten von M.
>
> Also könnte ich die Transponierte von der gegebenen Matrix
> M bilden, dazu die Rechtsinverse bestimmen. Damit erhalte
> ich eine Matrix und wenn ich diese wieder transponiere,
> müsste dann doch die gesuchte Linksinverse rauskommen.
>
> Oder liege ich auf dem Holzweg und habe ich dich nicht
> verstanden? Ich weiß ehrlich gesagt nicht was ich mit der
> Inversen machen könnte nach deiner Anregung.
Meine Antwort war falsch bzw. mir war da ein kapitaler Denkfehler unzterlaufen. Ich habe daher deine Augangsfrage auch auf 'unbeantwortet' zurückgesetzt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 29.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Di 29.04.2014 | | Autor: | wieschoo |
Geht es dir um die Existenzfrage?
Du hast selber ein Gleichungssystem aufgestellt. Wie viele Unbekannte und wie viele Gleichungen hast du?
Oder geht es dir um die praktische Berechnung einer solchen Matrix?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Di 29.04.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Hallo alle zusammen,
>
> Ich habe eine Verständnisfrage zu Linksinversen. Also sei
> eine Matrix M [mm]\in \IR^{axb}[/mm] gegeben und wir wollen zeigen,
> dass es zu dieser eine Linksinverse Matrix N [mm]\in \IR^{bxa}[/mm]
> existiert.
>
> Dann gilt ja nach Definition:
>
> N * M = [mm]I_{b}[/mm]
>
> Allgemein würde ich zur gegebenen Matrix M die
> Linksinverse N aufstellen indem ich sie mit unbekannten
> Parametern fülle.
>
> also z.B. so [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] * M = [mm]I_{b}[/mm]
>
> Dann würde ich dies ausmultiplizieren und mit der
> Einheitsmatrix vergleichen und anschliessend lösen.
ja, das kannst Du so machen - allerdings nicht immer. Ob das geht oder
nicht hängt (unter anderem) mit dem Rang zusammen, bzw. man sollte
vielleicht erstmal etwas darüber gelernt haben, wenn ein GLS
[mm] $A*x=b\,$
[/mm]
keine Lösung, genau eine Lösung oder mehr als nur eine Lösung hat. (Evtl.
kann man sogar Begriffe wie "redundante Gleichungen" mit ins Spiel bringen.)
Schauen wir uns mal
![[]](/images/popup.gif) Seite 25, Bsp. (iii)
an:
[mm] $A=\pmat{1 &2 \\ 1& 3\\ 4 & 7}$
[/mm]
Du kannst ja mit
[mm] $I_2=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\equiv:(\vec{e}_1,\vec{e}_2)$
[/mm]
und
[mm] $\vec{x}_1=\vektor{x_{11} & x_{12} & x_{13}}$
[/mm]
und
[mm] $\vec{x}_2=\vektor{x_{21} & x_{22} & x_{23}},$
[/mm]
dann die zwei Gleichungen
[mm] $\vec{x}_1*A=\pmat{1 & 0}$ [/mm]
und
[mm] $\vec{x}_2*A=\pmat{0 & 1}$
[/mm]
lösen.
So könntest Du dort auch
[mm] $B=\pmat{-2 & -1 & 1\\-1 & 1 & 0}$
[/mm]
angeben.
P.S. Es gibt auch eine Methode, wie man eine Gleichung der Art
[mm] $A*X=B\,$
[/mm]
für invertierbare Matrizen [mm] $A\,$ [/mm] nach [mm] $X\,$ [/mm] auflöst, die im Prinzip einfach nur
an das Gaußverfahren angelehnt ist:
(Man schreibt eine Matrix
[mm] $(A|B)\,,$
[/mm]
und bringt dann [mm] $A\,$ [/mm] in Einheitsmatrixform... und die Spalten von [mm] $B\,$ [/mm] werden
dann entsprechend dem Gaußalgorithmus behandelt; siehe auch
http://www.youtube.com/watch?v=YGnCxuE2LKg.)
Bei Dir geht es nun um
[mm] $X*A=I\,,$
[/mm]
aber wenn Du das transponierst, so hast Du die Form
[mm] $A^T*X^T=I^T$ $(=I)\,,$
[/mm]
und für (quadratisches und invertierbares) [mm] $A\,$ [/mm] (bzw. gleichwertig: [mm] $A^T$)
[/mm]
bist Du dann genau bei diesem Verfahren - ich weiß gerade aber nicht, ob
das einen anderen Namen hat als einfach nur Gaußalgorithmus (vielleicht
erweiterter Gaußalgorithmus).
Und wenn [mm] $A\,$ [/mm] nun eine Linksinverse bzw. [mm] $A^T$ [/mm] eine Rechstinverse hat, wie
gesagt: dafür gibt es gewisse Charakterisierungssätze, die ich mir nicht
gerade selbst überlegen will oder auf die Schnell nachzuschlagen weiß, so
sollte die Vorgehensweise, wenn mich mein Erinnerungsvermögen nicht
trübt, jedenfalls ähnlich gehen (Zeilenstufenform...) - und natürlich gibt
es da auch noch Vereinfachungen bzw. Spezialfälle.
Und wenn mich nicht alles trübt, findet man in so manchen Numerik- oder
Operations-Research-Unterlagen genaueres dazu. Einen "allgemeinen
Namen" für solche Verfahren fällt mir gerade nicht wirklich ein... falls er
mir wieder einfallen sollte, liefere ich ihn Dir nach!
Gruß,
Marcel
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