Linearunabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Fr 24.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in.
Ich habe eine Aufgabe vor mir stehen. Ich komme nicht so weiter mit meiner Überlegungen. ich hoffe wir schaffen es hier. Dankeschön.
Es sei [mm] v=(x_{1},......x_{n}) \in K^{n} [/mm] ein Vektor mit paarweise voneinander verschiedenen Koeffizienten [mm] x_{i}. [/mm] Zeigen Sie dass die Vektoren
[mm] v_{k}:=(x_{1}^{k},......x_{n}^{k}) [/mm] k=1,.....,n
linearunabhängig sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Fr 24.06.2005 | | Autor: | djmatey |
Wegen der Vandermont - Determinante hast du automatisch die lineare Unabhängigkeit der ersten n-1 Vektoren und dem 1-Vektor gegeben, denn das Produkt (die Determinante) ist genau dann ungleich 0, wenn alle Vektoreinträge paarweise verschieden sind, was ja bei dir gegeben ist. Das bedeutet, die Vektoren in der "Vandermont-Matrix", bei dir also die ersten n-1 Vektoren und der 1-Vektor sind linear unabhängig, da die Determinante ungleich 0 ist. Es bleibt nur noch die lineare Unabhängigkeit des n-ten Vektors von den anderen zu zeigen.
MfG!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Fr 24.06.2005 | | Autor: | leonhard |
Schau mal die Aufgabe nochmal an, ob k nicht von 0 bis n-1 laufen soll.
So wie sie hier steht, ist es falsch, da für [mm] $x_1=0$ [/mm] die Vektoren sicher l.a. sind.
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> Schau mal die Aufgabe nochmal an, ob k nicht von 0 bis n-1
> laufen soll.
Hallo, das ist doch egal, oder? Ob 0 bis n-1 oder 5 bis n+4, es läuft alles auf die Determinante hinaus, und die ist und bleibt ungleich 0. Allerdings dann wirklich nur für [mm] x_{i} \not=0. [/mm]
Gruß v. Angela
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http://mathworld.wolfram.com/VandermondeDeterminant.html