Lineartranformationen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Do 17.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Es sei [mm] A=\pmat{ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} }
[/mm]
Bestimmen Sie die Bilder der Vektoren der Standardbasis im [mm] \IR^{3} [/mm] unter der von A vermittelten Lineartransformation. |
Hallo Leute,
ich habe verständnisprobleme bzgl. Lineare Abbildungen.
Ist eine Lineartransformation folgendes?
"Transformationsmatrix" * Vektor = ein neuer Vektor (das Bild)
Sprich ich muss hier nix anderes machen als die Matrix A jeweils mit den Einheitsvektoren multiplizieren und erhalte so das gesuchte Bild?
A * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}
[/mm]
A * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}
[/mm]
A * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}}
[/mm]
Was sind denn Urbilder?
Da ist dann einfach die Fragestellung anders oder? ich habe z.B
"Transformationsmatrix" * Unbekannter Vektor (urbild) = Bekannter vektor
und ich soll aus der Matrix und dem Bekannten Vektor das Urbild bestimmen? Wenn das richtig ist, bitte ein kleinen Tip wie ich das mache. (Hat bestimmt irgendwas mit der Inversen zu tun oder so).
Vielen Dank
Das ganze habe ich natürlich nur in meinem Lieblingsforum gepostet :D
|
|
| |
|
> Es sei [mm]A=\pmat{ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} }[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Bilder der Vektoren der Standardbasis im
> [mm]\IR^{3}[/mm] unter der von A vermittelten Lineartransformation.
> Hallo Leute,
> ich habe verständnisprobleme bzgl. Lineare Abbildungen.
> Ist eine Lineartransformation folgendes?
> "Transformationsmatrix" * Vektor = ein neuer Vektor (das
> Bild)
Hallo,
zunächst einmal dürfte eine Lineartransformation das sein, was andernorts lineare Abbildung heißt.
Sofern die Matrix A die darstellende Matrix dieser Abbildung f bzgl einer Basis B ist, erhält man in der Tat [mm] f(x)=A_x [/mm] - sofern man x in Koordinaten bzgl B angibt bei der Matrixmultiplikation.
Wenn es bei Deiner Frage kein weiteres Drumherum gibt, ist die matrix bzgl der Standardbasis, und in den Spalten stehen die Bilder der Einheitsvektoren, wie Du selbst bereits bemerkt hast.
>
> Sprich ich muss hier nix anderes machen als die Matrix A
> jeweils mit den Einheitsvektoren multiplizieren und erhalte
> so das gesuchte Bild?
>
> A * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}[/mm]
>
> A * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}}[/mm]
>
> A * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}}[/mm]
>
>
> Was sind denn Urbilder?
> Da ist dann einfach die Fragestellung anders oder? ich
> habe z.B
> "Transformationsmatrix" * Unbekannter Vektor (urbild) =
> Bekannter vektor
Ja.
> und ich soll aus der Matrix und dem Bekannten Vektor das
> Urbild bestimmen? Wenn das richtig ist, bitte ein kleinen
> Tip wie ich das mache. (Hat bestimmt irgendwas mit der
> Inversen zu tun oder so).
Wenn die Matrix invertierbar ist, kannst Du natürlich mit der inversen Matrix drangehen. Jeweils die Inverse von rechts heranmultiplizieren.
Allgemein läuft die Lösung der Aufgabe auf die Lösung eines inhomogenen Gleichungssystems heraus:
Ax=b könnte man ja so formulieren: welche x werden unter A auf b abgebildet.
Damit ist die Vorgehensweise klar: GS lösen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 17.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Matrix A von l
[mm] l\vektor{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] , [mm] l\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }=(-1)\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }\ [/mm] , [mm] l\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }=(-1)\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }
[/mm]
und geben sie die geometrishe Interpretation dieser Abbildung. |
Ich habe ja hier A [mm] \pmat{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
Wenn ich auf der rechten Seite die Einheitsmatrix hätte, wäre klar, dass die gesuchte Matrix A = Inverse von [mm] \pmat{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1} [/mm]
da A * [mm] A^{-1} [/mm] = I
und [mm] (A^{-1})^{-1} [/mm] = A
Doch jetzt steht da leider nicht die Einheitsmatrix. Also wie muss ich voran gehen? Das Umformen der matrix auf der rechten seite durch zeilen- und spaltenumformung will mir leider nicht gelingen. Wäre dies aber der Schlüssel zum Erfolg?
Was mir auffällt ist, dass die Abbildung nix anderes macht als bei 2 Vektoren das Vorzeichen zu ändern und einen verändert sie garnicht.
|
|
|
| |
|
> Bestimmen sie die Matrix A von l
>
> [mm]l\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] , [mm]l\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }=(-1)\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }\[/mm]
> , [mm]l\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }=(-1)\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }[/mm]
>
> und geben sie die geometrishe Interpretation dieser > Abbildung.
> Ich habe ja hier A [mm]\pmat{1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & -1}[/mm]
> = [mm]\pmat{1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1}[/mm]
Hallo,
Du mußt Dir genau klarmachen, was diese Matrix tut.
Sie ist die darstellende Matrix von l bzgl der Basen [mm] B=(\vektor{1 \\ 1 \\ 1 },\vektor{1 \\ 0 \\ -1 },\vektor{0 \\ 1 \\ -1 }) [/mm] und der Standardbasis E. Oft wird die schreibweise [mm] _EM(l)_B [/mm] dafür gewählt.
Das bedeutet: für Vektoren, die Du in Koordinaten bzgl. B hineinsteckst, liefert sie das Bild in Koordinaten bzgl E.
Probier's aus:
[mm] l(\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }_E)= l(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }_B)=\pmat{1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }_{(E)}.
[/mm]
Was die Abbildung tut, siehst Du um Klassen besser, wenn Du die Spaltenvektoren auch in Koordinaten bzgl. B darstellst.
> Was mir auffällt ist, dass die Abbildung nix anderes macht
> als bei 2 Vektoren das Vorzeichen zu ändern und einen
> verändert sie garnicht.
Ja.
Der, der sich nicht vrändert, ist senkrecht zu den beiden anderen.
Diese Abbildung hat einen besonderen Namen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Fr 18.04.2008 | | Autor: | tobe |
> Probier's aus:
>
> [mm]l(\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }_E)= l(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }_B)=\pmat{1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }_{(E)}.[/mm]
>
Du hasst ja jetzt als Transformationsmatrix einfach die MAtrix von den Bildern genommen oder?
Ich weiss immer noch nicht wie ich das Problem löse :D
Ich könnte doch aber die Matrix mit variablen besetzen und dann 9 gleichungen mit 9 unbekannten aufstellen und durch gauß berechnen. Das ganze muss doch aber noch einfacher gehen!
Danke
|
|
|
| |
|
>
> > Probier's aus:
> >
> > [mm]l(\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }_E)= l(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }_B)=\pmat{1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }_{(E)}.[/mm]
>
> >
>
> Du hasst ja jetzt als Transformationsmatrix einfach die
> MAtrix von den Bildern genommen oder?
Hallo,
ich habe versucht, Dir zu verdeutlichen, was Deine Matrix tut.
Sie ist ja nicht falsch, bloß bzgl verschiedener Basen.
>
> Ich weiss immer noch nicht wie ich das Problem löse :D
Komisch.
Ich hatte das doch gesagt: stell dir Bilder der drei Basisvektoren in Koordinaten bzgl dieser Basis auf.
das wäre dann eine darstellung in Koordinaten bzgl einer Basis aus Eigenvektoren.
Mit denen hast Du dann die darstellende Matrix der Abbildung bzgl B. Daran kann man viel besser erkennen, was die Abbildung tut.
Gruß v. Angela
>
> Ich könnte doch aber die Matrix mit variablen besetzen und
> dann 9 gleichungen mit 9 unbekannten aufstellen und durch
> gauß berechnen. Das ganze muss doch aber noch einfacher
> gehen!
>
> Danke
|
|
|
|
