Linearkombination von Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mo 25.07.2005 | | Autor: | mckayser |
Hallo zusammen!
Ich habe im Moment mal wieder ein paar kleinere Probleme bei der Bewältigung einer eigentlich recht simpel aussehenden Aufgabe. Ich habe 5 Vektoren gegeben, von denen ich 3 auf lineare Unabhängigkeit untersuchen soll.
v1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\ -1}, [/mm] v2 = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \\ -4}, [/mm] v3 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \\ 1}, [/mm] w1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 5} [/mm] und w2 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -6 \\ 0}
[/mm]
Die Vektoren v1-v3 sollen nun auf lineare Unabhängikeit überprüft werden und dann ermittelt werden, welcher der Vektoren w1, w2 sich als Linearkombination von v1,v2,v3 darstellen lässt. Die Linearkombination soll dann auch angegeben werden....
Also ich weiss, dass Vektoren linear abhängig voneinander sind, wenn sie sich jeweils durch Multiplikation mit einem Vielfachen der anderen Vektoren darstellen lassen. Nur wie löse ich das GLS am besten, stelle ich es jetzt nach dem Muster
a + c = 0
-b = 0
3a + 2b + 2c = 0
3c = 0
-a -4b + c = 0
auf? Wenn sich nun nur die triviale Lösung (Nullvektor) ergibt, sind die Vektoren linear unabhängig? Kann ich das GLS oben mit Gauss lösen, und dann an das Ergebnis / die Lösung kommen?
Oder was würdet Ihr mir raten? Und wie finde ich dann raus, welcher der Vektoren w1,w2 sich als Linearkombination darstellen lässt?
Ich wäre sehr dankbar für Eure Hilfe zu dem Thema!
Greetz, MC Kayser
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Mo 25.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallöchen,
die drei Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn aus $ [mm] t_1 *v_1 +t_2 *v_2 +t_3 *v_3 [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] $ (eindeutig) folgt, dass alle t's gleich 0 sind.
D.H du musst das folgende Gleichungssystem lösen und dabei schauen, ob die Lösung eindeutig ist :
[mm] $\pmat{1&0&1\\0&-1&0\\3&2&2\\0&0&3\\-1&-4&1}*\vektor{t_1\\t_2\\t_3}=\vektor{0\\0\\0\\0\\0}$
[/mm]
um zu sehen, ob deine w's linear abhängig sind (nur dann gibt es eine LinearKombination) und gegebenenfalls die Linearkombi zu bekommen, löse die zwei Systeme:
[mm] $\pmat{1&0&1\\0&-1&0\\3&2&2\\0&0&3\\-1&-4&1}*\vektor{t_1\\t_2\\t_3}=\vektor{1\\0\\0\\0\\5}$
[/mm]
und
[mm] $\pmat{1&0&1\\0&-1&0\\3&2&2\\0&0&3\\-1&-4&1}*\vektor{t_1\\t_2\\t_3}=\vektor{0\\1\\0\\-6\\0}$
[/mm]
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mo 25.07.2005 | | Autor: | mckayser |
Also wenn ich nun das erste GLS löse, komme ich auf keine andere Lösung als den Nullvektor.
In ZSF habe ich dann folgendes System raus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm] * [mm] \vektor{t1 \\ t2 \\ t3} [/mm] = 0
ergibt doch als LÖsung nur den Nullvektor oder täusche ich mich da? Die Vektoren wären also linear unabhängig. Stimmts?
Bei der Lösung der beiden weiteren GLS kommt bei mir folgendes raus:
w1: [mm] \vektor{- 1/4 \\ 0 \\ 5/4}
[/mm]
w2: [mm] \vektor{3/2 \\ -1 \\ - 3/2}
[/mm]
Heisst das jetzt (falls es richtig ist), dass -1/4 *v1 + 0 * v2 + 5/4 * v3 = w1 ist (also nicht durch v1,v2,v3 darstellbar (weil "0* v2") [b]und[/B]
3/2 * v1 + -1 * v2 + (-3/2)* v3 = w2 ?
Dann wäre also w2 durch die o.g. Linearkombination von v1,v2,v3 darstellbar?
Bin auf die Antwort gespannt :p
Greetz, MC Kayser
EDIT: Ach ja, ist es überhaupt richtig, dass ich aus
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & [b]-1[/b] \\ 0 & 0 & [b]3[/b] \\ 0 & 0 & [b]2[/b] } [/mm] * [mm] \vektor{t1 \\ t2 \\ t3} [/mm] = 0
den drei werten einen gemacht habe, also "4 * t3 = 0" ?? Oder ist das nicht erlaubt?
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Hallo McKayser,
> Die Vektoren wären also linear unabhängig.
> Stimmts?
Stimmt.
> Heisst das jetzt (falls es richtig ist), dass -1/4 *v1 + 0
> * v2 + 5/4 * v3 = w1 ist (also nicht durch v1,v2,v3
> darstellbar (weil "0* v2") und
Hab's jetzt nicht nachgerechnet, aber das heißt sehr wohl, dass [mm] w_1 [/mm] eine Linearkombination der v's ist. Wichtig ist, dass nur diese 3 Vektoren verwendet wurden, und nicht ob alle 3 benutzt werden.
> Dann wäre also w2 durch die o.g. Linearkombination von v1,v2,v3
> darstellbar?
Hier stimmt's.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mo 25.07.2005 | | Autor: | mckayser |
Vielen Dank, hat mal wieder sehr geholfen!!
Greetz, MC Kayser
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Hallo mckayser!
Deine Linearkombination für [mm] w_1 [/mm] stimmt leider nicht. Aus der 2. und 4. Zeile folgt sofort, dass [mm] \lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_3 [/mm] (Koeffizienten von [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3) [/mm] null sein müssen. Damit folgt aber aus der 3. Zeile, dass [mm] \lambda_1 [/mm] null ist. Was aber insgesamt einen Widerspruch zur 1. und 5. Zeile bedeutet. Damit lässt sich [mm] w_1 [/mm] nicht als Linearkombination darstellen!!
Gruß Tran
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 25.07.2005 | | Autor: | mckayser |
Danke für diesen Hinweis!
Aber wie ist es dann bei der w2 Linearkombination, wenn man das so betrachtet?
Da habe ich:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm] * [mm] \vektor{t1 \\ t2 \\ t3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -6 \\ 0}
[/mm]
Ergeben da nicht auch die Zeilen 3 und 5, dass [mm] \lambda3 [/mm] null sein muss? Und steht das dann nicht im Widerspruch zu Zeile 4? Oder sehe ich das falsch?
Greetz, MC Kayser
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Mo 25.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo alle zusammen,
habe gerade keine Zeit, also Derive sagt für [mm] w_2 [/mm] die Lösung (2,-1,-2) und für [mm] w_1 [/mm] nicht lösbar...
außerdem "erhebe" ich mal die obige Anmerkung zu einer Antwort.
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 25.07.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also dein Fehler ist, dass du die Zeilenumformungen, die du mit der Matrix machst um sie auf ZSF zubringen, nicht mit dem Ergebnisvektor machst.
Beispiel:
2x=5
4x=10
wenn du nun die untere Zeile minus zweimal der oberen Zeile machst :
2x=5
0 =10
hier musst du dies natürlich auch immer für den Ergebnisvektor machen, sonst ist es ja keine Äquivalenzumformung...
viele Grüße
DaMenge
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