Linearkombination von Polynome < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Servus!
Also ich hab hier mal wieder eine Aufgabe die ich nicht verstehe:
Stelle die Polynome 1+x, x+x², x²+x³, 1+x³ als Linearkombination der Polynome 1-x, x-x², x²-x³, 1-x³ dar.
Als Hinweis wurde gegeben: Dies kann man mittels Basistransformation machen, wenn man die gegebenen Polynome als Basis des Vektorraums der Polynome dritten Grades über R ansieht, oder aber auch einfach mittels Koeffizienten vergleich.
Kann man sich das so vorstellen, das die ersten drei Polynome der Vektor X seien und die anderen der Vektor Y. Und man will dann das selbe wie bei der Linearkombination von Vektoren erreichen, also das gilt:
a*X = b* Y ?
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> Also ich hab hier mal wieder eine Aufgabe die ich nicht
> verstehe:
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> Stelle die Polynome 1+x, x+x², x²+x³, 1+x³ als
> Linearkombination der Polynome 1-x, x-x², x²-x³, 1-x³ dar.
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> Als Hinweis wurde gegeben: Dies kann man mittels
> Basistransformation machen, wenn man die gegebenen Polynome
> als Basis des Vektorraums der Polynome dritten Grades über
> R ansieht, oder aber auch einfach mittels Koeffizienten
> vergleich.
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> Kann man sich das so vorstellen, das die ersten drei
> Polynome der Vektor X seien und die anderen der Vektor Y.
> Und man will dann das selbe wie bei der Linearkombination
> von Vektoren erreichen, also das gilt:
Hallo,
von welchen drei Polynomen spricht Du?
Ich sehe hier 2x4.
Die Polynome v. Höchstgrad 3 bilden ja einen Vektorraum der Dimension 4.
Die Elemente dieses Vektorraumes, also die Vektoren, sind Polynome.
Wenn Du 1+x als Linearkombination v. 1-x, x-x², x²-x³, 1-x³ darstellen sollst, mußt Du Koeffizienten a,b,c,d finden mit
1+x=a(1-x)+b(x-x²)+c( x²-x³)+d(1-x³ ),
für die anderen Polynome entsprechend. (Das ist die Variante mit den Koeffizientenvergleich).
Gruß v. Angela
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Hi Angela,
Ja stimmt ich hab mich schlecht ausgedrückt.
Ich hab da jetzt noch ein bisschen weiter gemacht und bin dann auf folgendes gekommen:
Also die aus der Aufgabenstellung bekannten Polynome lassen sich ja so schreiben:
(1 1 1 1) (x+1, x+x², x²+x³, 1+x³)
(der zweite Vektor halt untereinander geschrieben)
So und jetzt kann man sagen (x+1, x+x², x²+x³, 1+x³) = a*(x-1, x-x², x²-x³. 1-x³). Wenn man dann a ausrechnet hätte man für a: (x-1/x+1). Das wäre ja dann die Linearkombination dieser Polynome und eigentlich dasselbe wie du gemeint hast, oder?
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> Hi Angela,
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> Ja stimmt ich hab mich schlecht ausgedrückt.
> Ich hab da jetzt noch ein bisschen weiter gemacht und bin
> dann auf folgendes gekommen:
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> Also die aus der Aufgabenstellung bekannten Polynome lassen
> sich ja so schreiben:
>
> (1 1 1 1) (x+1, x+x², x²+x³, 1+x³)
>
> (der zweite Vektor halt untereinander geschrieben)
Hallo,
ich weiß nicht, was das soll. ich glaube, daß Du etwas Wesentliches nicht verstanden hast, dazu weiter unten.
> So und jetzt kann man sagen (x+1, x+x², x²+x³, 1+x³) =
> a*(x-1, x-x², x²-x³. 1-x³). Wenn man dann a ausrechnet
> hätte man für a: (x-1/x+1). Das wäre ja dann die
> Linearkombination dieser Polynome und eigentlich dasselbe
> wie du gemeint hast, oder?
>
Nein, es ist absolut nicht dasselbe, und in den Koeffizienten von Linearkombiantionen dürfen keine Vektoren vorkommen, was bei Dir der Fall ist, denn x-1 und x+1 sind Vektoren, und dann dividierst Du sie auch noch, ogottogott.
Was ich meine, habe ich im vorigen Post klar und deutlich ausdrücken wollen, am besten liest Du es nochmal --- denn ich hatte vorhin 3/4 der Koeffizienten vergessen, tut mir leid.
Was Dir im Kopf umherspukt:
Wenn Du eine Basis des Raumes der Polynome v. Höchstgrad 3 hast, z.B. die Basis B:=(1,x, [mm] x^2, x^3), [/mm]
dann kannst Du die Vektoren der Menge [mm] \{x+1, x+x², x²+x³, 1+x³\}auch [/mm] in Koordniaten bzgl. B angeben, also
[mm] x+1=1*1+1*x+0*x^2+0*x^3= \vektor{1 \\ 1\\0\\0}_B
[/mm]
[mm] x+x²=\vektor{0 \\ 1\\1\\0}_B
[/mm]
[mm] 1+x³=\vektor{1 \\ 0\\0\\1}_B
[/mm]
[mm] x²+x³=\vektor{0 \\ 0\\1\\1}_B
[/mm]
Nun kannst Du festellen, daß auch die zweite Menge C:=(1-x, x-x², x²-x³, 1-x³ ) eine Basis des [mm] \IR_{\ge3}[x] [/mm] ist, und Du kannst dann, wenn Du möchtest, die zu bertrachtende Menge als Koordinatenvektoren bzgl C schreiben.
Die Koordinaten bekommst Du durch den von mir vorgestellten Koeffizientenvergleich, oder indem Du Basistransformationen durchführst.
Gruß v. Angela
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