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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:33 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Stelle p(x)= [mm] x^{3}-4x²+3x+2 [/mm] als Linearkombination der Basiselemente [mm] p_{0},p_{1},p_{2},p_{3} [/mm] dar.
Die Lagrangesche Interpolationsformel
( http://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation)
ist gegeben, wobei [mm] x_{j}=j [/mm] für j=0,1,...3 |
Muss ich, um die Basiselemente darzustellen, einen Basiswechsel durchführen?
Denn dies ist ja in der Monombasisdarstellung gegeben.
Ich habe mir überlegt, dass ein [mm] x_{0}
[/mm]
Aber wie ich das umsetze weiß ich nicht :(
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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> Stelle p(x)= [mm]x^{3}-4x²+3x+2[/mm] als Linearkombination der
> Basiselemente [mm]p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}[/mm] dar.
Hallo,
Du mußt dafür reelle Zahlen a,b,c,d finden, so daß [mm] p(x)=ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)+dp_4(x).
[/mm]
Mach dafür einen Koeffizientenvergleich.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:26 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich habe mir das mit dem Koeffizientenvergleich mal angeguckt aber so richtig klar ist mir das nicht geworden.
Kannst du mir das bitte erklären?
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Hallo,
gern erkläre ich Dir das.
Schreib mal hin, wie [mm] P_1,...,p_4 [/mm] aussehen,
und wie weit Du gekommen bist - also die Lösungsansätze.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich habe das jetzt so umgeformt:
[mm] p_{1} =a(x)+bp_{2}(x)+ cp_{3}(x)+ dp_{4}(x)
[/mm]
[mm] p_{2} =ap_{1}+ b(x)+cp_{3}(x)+ dp_{4}(x)
[/mm]
[mm] p_{3} =ap_{1}+ bp_{2}(x)+c(x)+ dp_{4}(x)
[/mm]
[mm] p_{4} =ap_{1}+ bp_{2}(x)+cp_{3}(x)+d(x)
[/mm]
aber ich weiß nicht ob du dieses meinst...
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> Ich habe das jetzt so umgeformt:
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> [mm]p_{1} =a(x)+bp_{2}(x)+ cp_{3}(x)+ dp_{4}(x)[/mm]
> [mm]p_{2} =ap_{1}+ b(x)+cp_{3}(x)+ dp_{4}(x)[/mm]
>
> [mm]p_{3} =ap_{1}+ bp_{2}(x)+c(x)+ dp_{4}(x)[/mm]
> [mm]p_{4} =ap_{1}+ bp_{2}(x)+cp_{3}(x)+d(x)[/mm]
>
> aber ich weiß nicht ob du dieses meinst...
Hallo,
nein, das meine ich nicht, und ich gelange zur Überzeugung, daß Dir jegliche Kenntnisse zu diesem Thema fehlen...
Mal zum Thema "als Linearkombination schreiben".
Deine Aufgabe spielt im Polynomraum, genauer im Raum der Polynome mit reellen Koeffizienten und dem Höchstgrad 3.
Aus der Vorlesung solltest Du wissen, daß dieser Raum die Dimension 4 hat, und Du solltest auch seine Standardbasis kennen.
Aus diesem Raum ist Dir eine Polynom gegeben, das Polynom p(x).
Nun ist es so, daß Vektorräume i.a. nicht nur eine Basis haben, sondern viele.
Darum geht es Dir.
Es sind Dir 4 Polynome [mm] p_0, p_1, p_2, p_3 [/mm] gegeben (Ich hatte mich bzgl der Numerierung zuvor vertan und von 1 bis 4 gezählt.), welche auch eine Basis dieses Raumes bilden - nämlich die Lagrangepolynome für [mm] x_i=i, [/mm] i=0,1,2,3,4.
Wie sehen denn diese 4 Lagrangepolynome aus? Ich hatte zuvor schon gefragt, leider ohne Antwort.
Es geht nun darum, daß Du die Koeffizienten a,b,c,d bestimmen sollst, für welche
[mm] p(x)=ap_0(x)+bp_1(x)+cp_2(x)+dp_3(x) [/mm] gilt.
das was wir hier jetzt stehen haben, ist p(x), geschrieben als Linearkombination der [mm] p_i, [/mm] welche in Deinem Link übrigens [mm] l_i [/mm] heißen.
Was hast Du denn nun dastehen, wenn Du das ausschreibst?
Auf der einen Seite p hinschreiben, auf der anderen Seite die Summen der Vielfachen der [mm] p_i.
[/mm]
So, nun könnte man ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich machen - aber die Chefs sind milde. Offenbar wurde bereits die Lagrangeinterpolationsformel besprochen.
Wie lautet sie, und was bedeuten die vorkommenden Buchstaben?
Du merkst, daß ich etwas Aktivität von Dir erwarte. Also los.
Gruß v. Angela
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> Es sind Dir 4 Polynome [mm]p_0, p_1, p_2, p_3[/mm] gegeben (Ich
> hatte mich bzgl der Numerierung zuvor vertan und von 1 bis
> 4 gezählt.), welche auch eine Basis dieses Raumes bilden -
> nämlich die Lagrangepolynome für [mm]x_i=i,[/mm] i=0,1,2,3,4.
>
> Wie sehen denn diese 4 Lagrangepolynome aus? Ich hatte
> zuvor schon gefragt, leider ohne Antwort.
>
> Es geht nun darum, daß Du die Koeffizienten a,b,c,d
> bestimmen sollst, für welche
>
> [mm]p(x)=ap_0(x)+bp_1(x)+cp_2(x)+dp_3(x)[/mm] gilt.
> das was wir hier jetzt stehen haben, ist p(x), geschrieben
> als Linearkombination der [mm]p_i,[/mm] welche in Deinem Link
> übrigens [mm]l_i[/mm] heißen.
>
> Was hast Du denn nun dastehen, wenn Du das ausschreibst?
> Auf der einen Seite p hinschreiben, auf der anderen Seite
> die Summen der Vielfachen der [mm]p_i.[/mm]
>
> So, nun könnte man ausmultiplizieren und einen
> Koeffizientenvergleich machen - aber die Chefs sind milde.
> Offenbar wurde bereits die Lagrangeinterpolationsformel
> besprochen.
>
> Wie lautet sie, und was bedeuten die vorkommenden
> Buchstaben?
Hallo Angela und Balsam,
die vier Basispolynome für diesen Fall konkret auszu-
multiplizieren und dann aus diesen die passende Linear-
kombination zu ermitteln, welche das Polynom p ergibt,
wäre eine seeehr mühsame Sache, die hoffentlich nicht
wirklich als Sinn der Aufgabe beabsichtigt ist !
Es ist wichtig, sich zuerst die Konstruktion der Lagrange-
Basispolynome und die Idee dahinter klar zu machen.
Zur Nachprüfung des Ergebnisses mag es dann schon
noch sinnvoll sein, sich anzuschauen, wie die gefundene
Linearkombination aus den (ausgerechneten) Basispoly-
nomen auf "wundersame" Weise tatsächlich das vorge-
gebene Polynom p liefert.
LG Al-Chwarizmi
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> Stelle p(x)= [mm]x^{3}-4x²+3x+2[/mm] als Linearkombination der
> Basiselemente [mm]p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}[/mm] dar.
> Die Lagrangesche Interpolationsformel
> ( http://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation)
> ist gegeben, wobei [mm]x_{j}=j[/mm] für j=0,1,...3
> Muss ich, um die Basiselemente darzustellen, einen
> Basiswechsel durchführen?
>
> Denn dies ist ja in der Monombasisdarstellung gegeben.
> Ich habe mir überlegt, dass ein [mm]x_{0}[/mm]
>
> Aber wie ich das umsetze weiß ich nicht :(
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Hallo Balsam,
wenn ich das richtig verstanden habe, wäre in diesem
Fall das Basispolynom [mm] p_i [/mm] dasjenige Polynom 3. Grades,
welches an der Stelle x=i den Wert Eins annimmt und an
allen Stellen x mit [mm] x\in\ \{0,1,2,3\}\backslash \{i\} [/mm] den Wert Null.
Dann gilt die Gleichung
$\ p(x)\ =\ [mm] \summe_{i=0}^{3}\,p(i)*p_i(x)$
[/mm]
Um die Gefahr von Verwechslungen zu vermindern, wäre
es wohl sinnvoll, die Basispolynome so wie im Wiki-Artikel
nicht mit [mm] p_i [/mm] , sondern mit [mm] \ell_i [/mm] zu bezeichnen. Dann wäre die
Formel:
$\ p(x)\ =\ [mm] \summe_{i=0}^{3}\,p(i)*\ell_i(x)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:12 Di 01.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Das irritiert mich nun.
Wieso taucht da eine Summenformel auf?
Und wie rechne ich jetzt damit weiter?
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> Das irritiert mich nun.
Hallo,
soll ich Dir mal sagen, wer oder was mich irritiert?
Dein Umgang mit der Aufgabe.
Den Link, den Du selbst angegeben hast, hast Du studiert?
Irgendwie scheint Dir ja dran gelegen zu sein, daß Du die Sache auf die Reihe bekommst, aber man sieht fast keine Aktivität von Dir.
Ich begreife z.B. überhaupt nicht, wieso Du die 4 Polynome [mm] p_0,..., p_3 [/mm] immer noch nicht aufgeschrieben hast.
Die bräuchten wir ja schon, zumindest, wenn Du die Sache verstehen willst.
Wartest Du auf den Oberkellner?
Diese Polynome [mm] p_i [/mm] sind ja von einer ganz bestimmten Machart, mit der Folge, daß sie eine ganz bestimmte Eigenschaft haben.
Al Chwarizmi servierte diese Eigenschaften schon, und wenn Du die Polynome mal dastehen hättest, könntest Du Dich leicht selbst davon überzeugen, daß ein jedes die genannte Eigenschaft hat.
Und wenn Du es nicht erkennen würdest, würden wir gerne beim Erkennen helfen.
>
> Wieso taucht da eine Summenformel auf?
Ömm - es geht hier uimmerhin umm "Linearkombination".
Weißt Du überhaupt, was eine Linearkombination ist?
(Wenn nicht, solltest Du das mal schnell herausfinden.)
Das hat ja schon ziemlich viel mit "Summe" zu tun, von daher wundert mich die Frage...
Die Koeffizienten der Linearkombination sind gesucht,
und hier hilft einem die Lagrangeformel, weil die 4 Basispolynome so ausgeklügelt sind, daß man sich den üblichen Weg über den Koeffizientenvergleich ersparen kann.
> Und wie rechne ich jetzt damit weiter?
Keine Ahnung, ich erkenne überhaupt nicht, wie weit Deine Bemühungen bisher gediehen sind.
Ich würde jetzt mal zusammenfaßt, wie Du die Aufgabenstellung verstehst, und was Du bisher zu ihrer Erfüllung getan hast.
Dazu gehört auch das Aufschreiben der Polynome.
Oder, wenn es Dir wirklich nur darum geht, eine Lösung abgeben zu können, dann wähle die Schnellzubereitung: nimm ohne nachzudenken die Formel aus Deinem Link P(x) = [mm] \sum_{i=0}^n f_i\ell_i\left(x\right).
[/mm]
Deine einzige Aufgabe wäre dann noch herauszufinden, was mit [mm] f_i [/mm] gemeint ist. Das riet ich Dir vor ein paar Tagen ja schon,
und Al-Chwarizmi, der irgendwie netter ist, hat's Dir sogar schon angerichtet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Di 01.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich versuche schon seit Tagen, den Stoff zu erarbeiten und zu verstehen.
Diese Aufgabe mache ich als Übung.
Deswegen möchte ich keine Lösung, sondern nur verstehen wie man es löst.
Und weil ich nicht weitergekommen bin, habe ich meine Frage ins Forum gestellt, mit der Hoffnung, dass mir geholfen wird.
So nun versuche ich es noch einmal:
$ [mm] \sum_{i=0}^n f_i\ell_i\left(x\right). [/mm] $
[mm] f_{i} [/mm] sind die Stützwerte
Berechne ich diese so, dass ich 0,1,2,3,4 in die Funktion einsetze und daraus die Stelle heraus finde?
dann wäre:
f(0)= 2 (0|2)
f(1)= 2
f(2)= 0
f(3)= 2
f(4)= 14
[mm] l_{i}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{j=0}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}- x_{j}}
[/mm]
Aber bei den 4 Polynomen weiß ich immernoch nicht weiter:(
Hoffe ich habe nicht wieder etwas falsches gemacht...
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> Ich versuche schon seit Tagen, den Stoff zu erarbeiten und
> zu verstehen.
>
> Diese Aufgabe mache ich als Übung.
> Deswegen möchte ich keine Lösung, sondern nur verstehen
> wie man es löst.
> Und weil ich nicht weitergekommen bin, habe ich meine
> Frage ins Forum gestellt, mit der Hoffnung, dass mir
> geholfen wird.
Hallo,
wir helfen ja auch gerne hier, wollen aber Lösungsansätze sehen, und nun lieferst Du ja auch einen sehr schönen Ansatz.
So macht das Helfen dann wieder Spaß.
>
>
> So nun versuche ich es noch einmal:
>
> [mm]\sum_{i=0}^n f_i\ell_i\left(x\right).[/mm]
>
> [mm]f_{i}[/mm] sind die Stützwerte
> Berechne ich diese so, dass ich 0,1,2,3,4 in die Funktion
> einsetze und daraus die Stelle heraus finde?
Ja, genau.
(Du hast jetzt Dein Polynom p aus der Aufgabe umgetauft in die Bezeichnungen des Links, also in f, ebenso heißen jetzt die Polynome [mm] l_i [/mm] und nicht mehr [mm] p_i.)
[/mm]
> dann wäre:
> f(0)= 2 (0|2)
> f(1)= 2
> f(2)= 0
> f(3)= 2
> f(4)= 14
f(4) brauchen wir schon nicht mehr. Unsere Polynome haben den Höchstgrad n=3, wir sind in einem Raum der Dimension 4 und haben die 4 Basisvektoren [mm] l_0, [/mm] ..., [mm] l_3.
[/mm]
Jetzt brauchst Du wie ein Schimpanse nur noch in die Lagrangegleichung einzusetzen:
[mm] f(x)=\summe_{i=0}^{\red{3}}f(i)l_i(x)=f(0)l_0(x)+f(1)l_1(x)+f(2)l_2(x)+f(3)l_3(x).
[/mm]
>
> [mm]l_{i}(x)[/mm] = [mm]\produkt_{j=0}^{n}\bruch{x-x_{j}}{x_{i}- x_{j}}[/mm]
Exemplarisch für i=2
Es ist [mm] $l_{3}(x)$ [/mm] = [mm] $\produkt_{j=0, j\not=2}^{3}\bruch{x-x_{j}}{x_{2}- x_{j}}$
[/mm]
[mm] =\bruch{x-x_{0}}{x_{2}- x_{0}}*\bruch{x-x_{1}}{x_{2}- x_{1}}*\bruch{x-x_{3}}{x_{2}- x_{3}}.
[/mm]
Wenn Du jetzt beachtest, daß die Stürzpunkte [mm] x_i=i [/mm] sein sollten, hast Du dein eines Polynom dastehen. Ja nicht ausmultiplizieren im Zähler!
Gruß v. Angela
>
> Aber bei den 4 Polynomen weiß ich immernoch nicht
> weiter:(
>
> Hoffe ich habe nicht wieder etwas falsches gemacht...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 01.02.2011 | | Autor: | Balsam |
$ [mm] l_{3}(x) [/mm] $= $ [mm] \produkt_{j=0, j\not=2}^{3}\bruch{x-x_{j}}{x_{2}- x_{j}} [/mm] $ = $ [mm] =\bruch{x-x_{0}}{x_{2}- x_{0}}\cdot{}\bruch{x-x_{1}}{x_{2}- x_{1}}\cdot{}\bruch{x-x_{3}}{x_{2}- x_{3}}. [/mm] $
Aber was setze ich für x ein?
In deinem Bsp. ist i= 2, mache ich das gleiche für i=0,1,3 ?
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Hallo, da ja laut deiner Aufgabenstellung [mm] x_{j} = j [/mm] für j=0,1... solltest du für [mm] p_{2} = \bruch{x}{2}*\bruch{x-1}{1}*\bruch{x-3}{-1} [/mm] erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Di 01.02.2011 | | Autor: | Balsam |
setze ich dann z.B für [mm] x_{2}= [/mm] 2 , [mm] x_{3}=3 [/mm] ein ?
was mache ich jettz mir den x ?
am Ende habe ich doch dann lauter x stehen in meiner langen gleichung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst doch ne Summe aus polynomen [mm] l_i(x) [/mm] haben, die hängen doch von x abrechne von deinemgegebenen p(x) p(i) aus und dann nimm endlich den rat von Al-Chwarizmi an! da steht doch genau, was su machen sollst.
jedes pölynom dritten grades ist durch 4 funktionswerte eindeutig bestimmt. du kannst also die 4 funktionswerte an den Stellen 0,1,2,3 ausrechnen.
die linearkomb. der lagrangefkt. gibt dir ein polynom mit denselben nst. also dasselbe polynom.
gruss leduart.
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