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Linearkombination prüfen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mi 01.01.2014
Autor: Kartoffelchen

Aufgabe
Gegeben ist der Unterraum $ U = [mm] span\{(0,1,1)\}$ [/mm]

Ist folgende Aussage korrekt?

$((1,1,1)+ U) + [mm] 2\cdot [/mm] ((0,1,0)+U) = ((1,4,2) + U)$

Hallo,

Statt U schreibe ich:

$(1,1,1) + r(0,1,1) + 2 [mm] \cdot [/mm] ((0,1,0)+ s(0,1,1)) = (1,4,2) + t(0,1,1)$
=
$(1,3,1) + [r+2s](0,1,1) = (1,4,2) + t(0,1,1)$
=
$(0,1,1) = [r+2s-t](0,1,1)$ bzw. für eine andere Variable
D.h. die Aussage ist wahr für r+2s-t = 1 ?

        
Bezug
Linearkombination prüfen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Mi 01.01.2014
Autor: angela.h.b.


> Gegeben ist der Unterraum [mm]U = span\{(0,1,1)\}[/mm]
>  
> Ist folgende Aussage korrekt?
>  
> [mm]((1,1,1)+ U) + 2\cdot ((0,1,0)+U) = ((1,4,2) + U)[/mm]
>  Hallo,
>  
> Statt U schreibe ich:
>  

Hallo,

möglicherweise hast Du nicht verstanden, worum es in der Aufgabe geht.

Schauplatz ist der Quotientenraum (=Faktorraum) [mm] \IR^3/ [/mm] U.

Die Elemente dieses Raumes sind von der Gestalt v+U mit [mm] v\in \IR^3. [/mm]

In der Vorlesung wurde sicher definiert

(v+U)+(v'+U):=(v+v')+U
und
r*(v+U):=r*v+U.

Also ist

((1,1,1)+ U) + [mm] 2\cdot [/mm] ((0,1,0)+U)=(1,3,1)+U,

und Du mußt nun entscheiden, ob

(1,3,1)+U=(1,4,2)+U.

In Deiner Mitschrift wird auch stehen, wann zwei Äquivalenzklassen gleich sind:

v+U=v'+U <==> [mm] v-v'\in [/mm] U.

Dies ist zu prüfen.

LG Angela




Mit der in der

> [mm](1,1,1) + r(0,1,1) + 2 \cdot ((0,1,0)+ s(0,1,1)) = (1,4,2) + t(0,1,1)[/mm]
>  
> =
>  [mm](1,3,1) + [r+2s](0,1,1) = (1,4,2) + t(0,1,1)[/mm]
>  =
>  [mm](0,1,1) = [r+2s-t](0,1,1)[/mm] bzw. für eine andere Variable
>  D.h. die Aussage ist wahr für r+2s-t = 1 ?


Bezug
                
Bezug
Linearkombination prüfen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:22 Do 02.01.2014
Autor: Kartoffelchen

Hallo,

Mh das habe ich wirklich nicht verstanden. Bzw. die Definitionen noch nicht gekannt. Ich wundere mich noch warum das so gilt, also (v + U) + (w + U) := (v+w) + U.

Und was ist die Dimension eines solchen Faktorraums?
(Es gilt doch dim V/U = dimV - dimU = 3 - 2 = 1 ?)

wenn ich deinen letzten Schritt noch fertig mache erhalte ich (0,-1,-1) und das ist ein Element aus U.





Bezug
                        
Bezug
Linearkombination prüfen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Do 02.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> Mh das habe ich wirklich nicht verstanden. Bzw. die
> Definitionen noch nicht gekannt. Ich wundere mich noch
> warum das so gilt, also (v + U) + (w + U) := (v+w) + U.

Weil ein und derselbe Unterraum mit sich selbst addiert natürlich wieder sich selbst ergeben muss (was auch sonst?)

> Und was ist die Dimension eines solchen Faktorraums?
> (Es gilt doch dim V/U = dimV - dimU = 3 - 2 = 1 ?)

>
[ok]

> wenn ich deinen letzten Schritt noch fertig mache erhalte
> ich (0,-1,-1) und das ist ein Element aus U.

So ist es.

Gruß, Diophant

Bezug
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