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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren a, b, c und v mit
[mm] a=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}, b=\vektor{2 \\ -3 \\ -1}, c=\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}, v=\vektor{-3 \\ 3 \\ -2}.
[/mm]
Stellen Sie den Vektor v als Linearkombination der Vektoren a, b und c dar. Ist die Darstellung eindeutig? |
Hallo,
mein Ergebnis:
[mm] \alpha*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \beta*\vektor{2 \\ -3 \\ -1} [/mm] + [mm] \gamma*\vektor{-1 \\ 3 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
Ich habe ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen aufgestellt und nach dem Gauss-Verfahren gelöst. Kommt heraus:
[mm] 3*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1} -1*\vektor{2 \\ -3 \\ -1} -2*\vektor{-1 \\ 3 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
Ich habe den Vektor v als Linearkombination von a,b und c dargestellt. Was aber ist mit der letzten Frage gemeint, ob diese Darstellung eindeutig sei?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sind die Vektoren a, b, c und v mit
>
> [mm]a=\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}, b=\vektor{2 \\ -3 \\ -1}, c=\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}, v=\vektor{-3 \\ 3 \\ -2}.[/mm]
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> Stellen Sie den Vektor v als Linearkombination der Vektoren
> a, b und c dar. Ist die Darstellung eindeutig?
> Hallo,
>
> mein Ergebnis:
>
> [mm]\alpha*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm] + [mm]\beta*\vektor{2 \\ -3 \\ -1}[/mm]
> + [mm]\gamma*\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\ -2}[/mm]
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> Ich habe ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen
> aufgestellt und nach dem Gauss-Verfahren gelöst. Kommt
> heraus:
>
> [mm]3*\vektor{-1 \\ 2 \\ 1} -1*\vektor{2 \\ -3 \\ -1} -2*\vektor{-1 \\ 3 \\ 3}[/mm]
> = [mm]\vektor{-3 \\ 3 \\ -2}[/mm]
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> Ich habe den Vektor v als Linearkombination von a,b und c
> dargestellt. Was aber ist mit der letzten Frage gemeint, ob
> diese Darstellung eindeutig sei?
das sollte sich doch aus dem GLS bzw. dem Gaußverfahren ergeben: Wenn
Du dort das Tripel
[mm] $$(\alpha,\beta,\gamma)$$
[/mm]
eindeutig berechnet hast - d.h. nirgends wurde etwas frei gewählt - dann
ist die Darstellung eindeutig. Sonst eben nicht.
Ich kann Dir aber die Frage auch anders beantworten:
Wenn man die Determinante der $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix berechnet, die man
aus diesen 3 Spaltenvektoren bilden kann (bzw. ich habe sie mir ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!) berechnen lassen)
so stellt man fest, dass diese Determinante [mm] $=-1\,$ [/mm] ist. Da der Wert der
Determinanten der obigen Matrix nicht Null ist, ist die Matrix invertierbar.
Daraus folgt die Eindeutigkeit der Darstellung.
Gruß,
Marcel
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